Prueba para vectores con producto cruzado y producto punto

Question

Demostrar que para dos vectores cualesquiera $\mathbf a$ y $\mathbf b$ , $\lvert \mathbf a \times \mathbf b \rvert^2 + (\mathbf a \cdot \mathbf b)^2 = \lvert \mathbf a \rvert^2 \, \lvert \mathbf b \rvert^2$ .

¿Puede alguien aconsejarme sobre cómo probar esto de una manera más fácil? Hasta ahora, lo estoy resolviendo de forma muy complicada, etiquetando $\mathbf a$ como $(x,y,z)$ y $\mathbf b$ como $(a,b,c)$ y luego multiplicarlas.

Así, para el $\lvert \mathbf a \times \mathbf b \lvert^2$ término, encontré $(yc-bz)^2 + (za-xc)^2 + (xb-ya)^2$ y luego $(\mathbf a \cdot \mathbf b)^2=(ax+yb+zc)^2$ .

¿Hay una manera más fácil?

Answer 1

Sí, hay una manera más fácil. Una pista:

$$|a \times b| = |a||b|\sin(\theta)$$

y

$$a \cdot b = |a||b|\cos(\theta)$$

donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $a$ y $b$ .

Answer 2

Prefiero este método puramente vectorial (utilizando el Convención de suma de Einstein ) al método basado en la trigonometría en la respuesta de Eli Rose. $$ \begin{align*} &\left| a\times b\right|^2+\left(a\cdot b\right)^2\\ =\;&\varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{ilm}a_lb_m+a_jb_ja_kb_k\\ =\;&a_jb_ka_lb_m(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})+a_jb_ja_kb_k\\ =\;&a_ja_jb_kb_k-a_jb_ka_kb_j+a_jb_ja_kb_k\\ =\;&a_ja_jb_kb_k=\left|a\right|^2\left|b\right|^2 \end{align*} $$ (Donde $\varepsilon$ es el Símbolo de Levi-Civita , $\delta$ es el Delta de Kronecker y he utilizado la relación $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$ )