Dejemos que $A$ sea un subespacio cerrado $A$ de $[0,1]^4$ ---digamos, un subcomplejo de alguna triangulación del cubo. Me gustaría demostrar que el producto taza $H^2(A)\times H^2(A)\to H^4(A)$ es trivial (o al menos que el mapa cuadrado $x\mapsto x\smile x$ es trivial).
Intenté analizar ejemplos sencillos de ocurrencias de productos de copa no triviales y me parece que los "bloques de construcción" básicos son ejemplos como productos de espacios (por ejemplo, $S^2\times S^2$ ) y/o adjuntando $4$ -células a algo $2$ -de forma no trivial (por ejemplo, $\Bbb CP^2$ ) y ninguno de ellos se puede realizar en un $4$ -espacios; sin embargo, no sé cómo demostrar la afirmación formalmente.
Gracias por la posible pista.
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En realidad no tengo una idea, pero sólo para mostrar que esto podría no ser muy fácil, piense en los análogos de dimensión superior de Milnor-Barrat de la Oreja hawaiana. Estos tienen homología no trivial en dimensión alta arbitraria. No conozco la estructura de cohomología, pero podría ser no trivial. Entonces se puede tomar un producto con un $S^1$ para obtener posiblemente algo. Sin embargo, es probable que vayan en una dirección diferente a la que quieres, ya que estos espacios no son agradables a nivel local.
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@ThomasRot Gracias, interesante. Pero al menos en el caso de los complejos simpliciales, espero que la afirmación pueda ser cierta. Incluso estoy interesado en algunas generalizaciones (sólo quería mantenerlo simple) y nunca sé si este es el lugar adecuado para preguntar, o mathoverflow...