Calcular

Question

Tengo problemas para calcular esta integral.

Traté de integración por partes y funciones trigonométricas.

$$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{a-\sin{x}}dx , \quad a>1$$

Answer 1

Sea la integral $I$.

Un truco útil con este tipo de cosas es sustituir $y=\pi-x$. Entonces tenemos %#% $ #% desde $$ I = \int_0^{\pi} \frac{(\pi-y)}{a-\sin{y}} \, dy, $. Por lo tanto, agrega, tenemos $\sin{(\pi-y)}=\sin{y}$ $ para terminar el cómputo, puede utilizar la sustitución tangente – medio ángulo (es decir, $$ 2I = \pi\int_0^{\pi} \frac{dx}{a-\sin{x}}. $), o se debe calcular residuos: Si conoces a una de estas técnicas, el cálculo de aquí es sencillo.

Answer 2

Caso General

En estos tipos de integrales definidas, nunca te olvides de utilizar esta identidad general

$$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$

Lo que puede ser demostrado por la sustitución de $x \to a+b-x$. A continuación, escribe la integral definida como el promedio de las dos expresiones anteriores para obtener

$$I=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(x)+f(a+b-x)]dx$$

Siguiente, se produce la magia ya que se puede encontrar la primitiva de $g(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(a+b-x)]$ pero no la de $f(x)$ o $f(a+b-x)$. Esto es generalmente debido a la forma más simple de $g(x)$ en comparación con $f(x)$ o $f(a+b-x)$ como algunos de expresión ha cancelado o desaparecidos en $g(x)$.

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Su Ejemplo

En el ejemplo que hemos

$$\begin{align} a &= 0 \\ b &= \pi \\ f(x) &= \frac{x}{a-\sin(x)} \\ f(a+b-x) &= \frac{\pi-x}{a-\sin(\pi-x)} = \frac{\pi-x}{a-\sin(x)} \\ g(x) &= \frac{\pi}{2} \frac{1}{a-\sin(x)} \end{align}$$

Se puede ver la cancelación de lo que está sucediendo en $g(x)$? Entonces la integral se convierte en

$$I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{a-\sin(x)} dx$$

• Caso $|a| \gt 1$

A continuación puede encontrar por la tangente del ángulo mitad de sustitución de $u=\tan(\frac{x}{2})$ que

$$F(x)=\int \frac{1}{a-\sin(x)} = \frac{2}{\sqrt{a^2-1}} \arctan\left(\frac{a \tan(\frac{x}{2})-1}{\sqrt{a^2-1}}\right) + C$$

Como puede ver, esta fórmula es válida para $|a| \gt 1$. Por lo tanto, el resultado final será

$$I=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}} \left(\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}\right)+\frac{\pi}{2}\right)$$

• Caso $|a| \lt 1$

Voy a dejar este caso como un ejercicio para usted. El procedimiento es el mismo, pero sólo el $F(x)$ será diferente. Sin embargo, $F(x)$ se obtiene con la misma técnica de sustitución.

• Caso $|a|=1$

Este es también el otro caso, que debe ser tratado por separado. El $F(x)$ en este caso es el más sencillo y se obtiene con las mismas técnicas.