Torsión y curvatura de la curva $X(t) = (at, bt^2, ct^3)$

Question

Hola a todos estoy buscando ayuda sobre un problema. Lo publicaré, y luego añadiré lo que he intentado y mis ideas, etc. La pregunta ya lleva unos días, estoy seguro de que alguien puede ayudarme. ¡Incluso puse una recompensa, he pasado mucho tiempo en esta pregunta!

Estoy interesado en calcular la torsión ( $\tau$ ) y la curvatura ( $\kappa$ ) de la curva $$X(t)=(at,bt^2,ct^3), \quad t \ge 0 $$ y $a$ , $b$ y $c$ son todas constantes positivas.

Esto es lo que me está dando problemas. Parece que hay tantas fórmulas diferentes para la curvatura, y también hay la Frenet-Serret fórmulas así que estoy teniendo problemas para decidir cómo hacerlo. Estaba pensando que tal vez podría reparametrizar con respecto a la longitud de arco, lo que me daría en términos de longitud de la unidad por lo que podría utilizar algunas de las fórmulas de Frenet-Serret, pero no estoy seguro de eso.

Lo que hice hasta ahora fue calcular $X'(t)=(a,2bt,3ct^2)$ y $|X'(t)|=\sqrt{a^2+4b^2 t^2 +9c^2 t^4}$ .

Entonces calculé $$X''(t)=(0, 2b, 6ct)$$ y $$|X''(t)|=2\sqrt{b^{2}+9c^{2}t^{2}}.$$

También sé que la tangente unitaria, $$T(t)={X'(t)\over|X'(t)|}$$ y la normal unitaria es $$N(t)={T'(t) \over |T'(t)|}$$ y que la binormal es $B= T \times N$ .

Pero realmente no estoy seguro de cómo llevarlo más lejos.

Sé que en la parametrización de la longitud de arco tendríamos $dT/ds= \kappa N$ y $dN/ds=-\kappa T + \tau B$ y $dB/ds= -\tau N$ .

¿Debería mantener la forma actual y utilizar la ecuación $$\kappa={|X'(t) \times X''(t)|\over |X'(t)|^3}?$$

Algunas de las otras cosas que estoy pensando es que tal vez podría resolver para la torsión de la siguiente manera:

Sé que $T$ , $B$ y $N$ forman una base ortonormal de $\mathbb R^{3}$ así podemos y cuando escribimos $N'=\alpha T + \tau B$ es el coeficiente, $\tau$ ¿la definición de torsión?

Además, señalando $B= T \times N$ tenemos $$B'= T'\times N + T \times N' = T \times N' =T \times (\alpha T+\tau B) = \tau T \times B= -\tau N $$ (porque $N=B \times T$ así que $T \times B=-N)$ . Creo que así es como entiendo la derivación de esa ecuación.

¿Sólo en la parametrización de la longitud de arco puedo utilizar, por ejemplo, las ecuaciones de Frenet?

Sin embargo, creo que debería ser capaz de hacerlo sólo usando las fórmulas regulares, y no una parametrización de longitud de arco como la integral sería difícil. Me conformé con esto también, así que en términos de los fundamentos de esta pregunta me gustaría hacerlo sin parametrización de longitud de arco.

También me interesa ver una derivación intuitiva de la fórmula de torsión (la del triple producto).

Me disculpo si no mostré suficiente trabajo, esto es todo lo que pude hacer pero estoy muy contento de aprenderlo. ¡Muchas gracias por cualquier ayuda!

ACTUALIZACIÓN:

Me pregunto sobre la validez de lo que tengo ahora.

Además de lo anterior, he calculado $X'''(t)=(0,0,6c)$

$X' \times X''= (6bct^2,-6act,2ab)$

$(X' \times X'') \cdot X''' = (12abc)$

$|X' \times X''| = 2 \sqrt {9b^2c^2t^4+9a^2c^2t^2+a^2b^2}$ .

¿Ahora puedo aplicar las fórmulas

$$\tau = \frac{ (X' \times X'') \cdot X'''}{|X' \times X''|^2}.$$

Answer 1

Esos cálculos con curvas espaciales suelen ser tediosos; por lo que utilizar un sistema de álgebra computacional no es del todo un lujo. Allá vamos: $$ \vec{r}(t) = \left[ \begin{matrix} a t \\ b t^2 \\ c t^3 \end{matrix} \right] \quad \Longrightarrow \\ \vec{\iota} = \, \stackrel{.}{\vec{r}} \, = \frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{d\vec{r}}{dt}\frac{dt}{ds} = \left[ \begin{matrix} a \\ 2 b t \\ 3 c t^2 \end{matrix} \right] / \sqrt{a^2 + 4 b^2 t^2 + 9 c^2 t^4} \quad \Longrightarrow \\ \stackrel{..}{\vec{r}} \, = \frac{d^2 \vec{r}}{ds^2} = \, \stackrel{.}{\vec{\iota}} \, = \frac{d\vec{\iota}}{ds} = \frac{d\vec{\iota}}{dt}\frac{dt}{ds} = \left[ \begin{matrix} -2at(2b^2+9c^2t^2)\\2b(a^2-9c^2t^4)\\6ct(a^2+2b^2t^2) \end{matrix} \right]/(a^2+4b^2t^2+9c^2t^4)^2 \quad \Longrightarrow \\ \stackrel{...}{\vec{r}} \, = \, \stackrel{..}{\vec{\iota}} \, = \frac{d\stackrel{.}{\vec{\iota}}}{dt} \frac{dt}{ds} = \left[ \begin{matrix} 2a(2a^2b^2-24t^2b^4-162t^4b^2c^2+27a^2c^2t^2-405t^6c^4) \\ -8bt(27a^2c^2t^2-81t^6c^4+4a^2b^2) \\ 6c(a^4-6a^2b^2t^2-63a^2c^2t^4-8b^4t^4-90b^2t^6c^2) \end{matrix} \right] / (a^2+4b^2t^2+9c^2t^4)^{7/2} $$ Con $\rho^2 = (\stackrel{.}{\vec{\iota}} \cdot \stackrel{.}{\vec{\iota}})$ - producto interior - encontramos para la curvatura $\rho$ : $$ \rho(t) = 2\sqrt{\frac{a^2b^2+9a^2c^2t^2+9t^4b^2c^2}{(a^2+4b^2t^2+9c^2t^4)^3}} $$ Con la (esperemos) conocida fórmula $\;\det\left(\stackrel{.}{\vec{r}},\stackrel{..}{\vec{r}},\stackrel{...}{\vec{r}}\right) = \rho^2 \tau \;$ encontramos aquí para la torsión $\tau$ : $$ \tau(t) = \frac{3 a b c}{a^2b^2+9a^2c^2t^2+9t^4b^2c^2} $$

Answer 2

Sea la curvatura $\kappa$ se define por $\displaystyle \kappa = \frac{\big \|\mathbf T'(t) \big \|}{\big \| \mathbf r'(t)\big \|} $ .

Desde $\mathbf r(t) = (at, bt^2, ct^3)$ ,

$\mathbf r'(t)= (a, 2bt, 2ct^2)$ ,

$\|\mathbf r'(t) \| = \sqrt{a^2+4b^2t^2+9c^2t^4}$ ,

así que $\mathbf T(t)= \frac{(a, 2bt, 2ct^2)}{\sqrt{a^2+4b^2t^2+9c^2t^4}}$

y $\mathbf T'(t)= \frac{(0, 2b, 4ct)}{\sqrt{a^2+4b^2t^2+9c^2t^4}}$ .

y $\| \mathbf T'(t) \|= \frac{\sqrt{4b^2+16c^2t^2}}{\sqrt{a^2+4b^2t^2+9c^2t^4}}$

Ahora $\displaystyle \kappa = \frac{\big \|\mathbf T'(t) \big \|}{\big \| \mathbf r'(t)\big \|} = \frac{\sqrt{4b^2+16c^2t^2}}{a^2+4b^2t^2+9c^2t^4}$

Para la torsión haz algo similar pero utiliza la fórmula:

$\tau = \frac{\big | \mathbf r'(t) \ \mathbf r''(t) \ \mathbf r'''(t) \big| }{\kappa^2} $

donde el numerador es el triple producto escalar.