Cómo probar o refutar es positivo definir la matriz?

Question

demostrar o refutar la siguiente matriz es positiva definida la matriz ?

$$\begin{bmatrix} \dfrac{\sin(a_1-a_1)}{a_1-a_1}&\cdots&\dfrac{\sin(a_1-a_n)}{a_1-a_n}\\ \vdots& &\vdots\\ \dfrac{\sin(a_n-a_1)}{a_n-a_1}&\cdots&\dfrac{\sin(a_n-a_n)}{a_n-a_n} \end{bmatrix}_{n\times n}$$ y donde nos defind $$\dfrac{\sin 0}{0}=1$$

Tal vez este problema, puede utilizar la Integral a resolver. desde $$\frac{1}{x} = \int_0^\infty e^{-tx} t \, dt$$? Gracias

Answer 1

Deje $b_{kl}=\frac{\sin{(a_k-a_l)}}{a_k-a_l}$. El simétrica $n\times n$ matriz $M=(b_{kl})$ es positiva definida si y sólo si $(a_1,\ldots,a_n)$ son distintos.

Tenga en cuenta que $$\frac{\sin a}{a}=\frac{1}{2}\int_{-1}^1e^{iat}dt$$ Así, por ${\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb{C}^n$ hemos $$\eqalign{ {\bf x}^*M{\bf x}&=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\sum_{k,l=1}^nx_k\overline{x_l}e^{i(a_k-a_l)t}dt\cr &=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\left\vert\sum_{k=1}^n{x_k}e^{ia_k t}\right\vert^2 dt\geq0\etiqueta{1} } $$ Por lo tanto $M$ es positivo. Por otra parte, Supongamos que el ${\bf x}^*M{\bf x}=0$ queremos demostrar que $$x_1=x_2=\cdots=x_n=0.$$ From $(1)$ llegamos a la conclusión de que la función continua $t\mapsto \sum_{k=1}^n{x_k}e^{ia_k t}$ es cero en $[-1,1]$. Ahora, considere la función $f$ definido por $f(z)=\sum_{k=1}^n{x_k}e^{ia_k z}$, este es una analítica de la función en $\Bbb{C}$ que es igual a$0$$z\in[-1,1]$, por lo que debe ser idéntica a cero.

Considere la posibilidad de $j\in\{1,\ldots,n\}$, tenemos $$ \forall\t\en \Bbb{R},\quad \sum_{k=1}^nx_ke^{i(a_k-a_j)t}=0 $$ por lo tanto, para $T>0$, $$ \sum_{k=1}^nx_k\left(\frac{1}{2}\int_{-T}^Te^{i(a_k-a_j)t}dt\right)=0 $$ Dejando $T$ tienden a $\infty$ llegamos a la conclusión de que $x_j=0$. Aquí utilizamos el hecho de que $$ \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2}\int_{-T}^Te^{i wt}dt=\left\{\matriz{1&w=0\cr 0&w\ne 0}\right. $$ y el anuncio de la conclusión de la siguiente manera.

Answer 2

Hay otros supuestos que usted se olvidó de agregar? Un contra-ejemplo que viene a la mente es tomar $n = 2$$a_1 = a_2 = 1$, de modo que la matriz es sólo $$ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right), $$ cual es positivo semidefinite, pero no positiva definida ya que uno de sus autovalores es $0$.