Cómo $f^{2}=g^{6}-1$ implica $f$ y $g$ son constantes?

Question

Del examen de calificación de Harvard, 1990.

Dejemos que $f,g$ sean dos funciones holomorfas enteras que satisfagan la propiedad $$f(z)^{2}=g(z)^{6}-1,\forall z\in \mathbb{C}$$ Demostrar que $f,g$ son funciones constantes. ¿Sería lo mismo si $f,g$ pueden ser funciones meromorfas?

El problema viene con una indicación de que debo pensar en la curva algebraica $$y^{2}=x^{6}-1$$ pero no veo cómo se relacionan. Sé que esta curva es hiperelíptica (de Riemann-Hurwitz o simplemente del artículo de la wiki). Pero, ¿cómo ayuda esto? (esta curva debe ser de género 2). Echando un vistazo a la función completa El artículo tampoco parece ser de ayuda. ¿Insinúa el autor que $f,g$ ¿No es mejor tratar las aplicaciones clásicas de la superficie de Riemann (en lugar de las de la geometría algebraica)?

Answer 1

Iluminado por varios indicios, he aquí una "prueba" que muy probablemente esté equivocada en alguna parte. Hace tiempo que no toco las funciones completas y los mapas de cobertura. Así que las sugerencias de mejora son bienvenidas.

Si $f,g$ son meromorfas, entonces podemos escribirlas como cocientes de funciones racionales. Así, podemos extender $f,g$ a la Esfera de Riemann permitiendo $\infty$ . Riemann-Hurwitz implicaría que no podemos hacer un mapa de una superficie de género bajo a una de género superior: por lo tanto, no hay ningún mapa de $S^{2}$ a $X$ . Y así $f,g$ deben ser constantes.

Supongamos que $f,g$ son holomorfas sobre $\mathbb{C}$ con una posible singularidad no removible en $\infty$ . Desde $f,g$ son ambos mapas abiertos si no son constantes, junto $(f,g)$ debe mapear el conjunto abierto $\overline{\mathbb{C}}-\{\infty\}$ a un componente abierto conectado a $X=\{(z,w),z^{2}=w^{6}-1\}$ . $X$ es una superficie de Riemann que se puede compactar para que sea homeomorfa a un toro de dos agujeros . Desde $X$ es conectado el mapa debe ser suryente. Además, por el teorema de la cartografía inversa, ya que $f,g$ se suponen no constantes, $(f',g')$ no son cero excepto en un conjunto discreto de puntos. Ignorando esto por ahora (debería ser manejable usando la transformación biholomórfica local a una función localmente ramificada) podemos ver el mapa $$F=(f,g):\mathbb{C}\rightarrow X$$ como un mapa de cobertura ya que tenemos una imagen inversa discreta en cada vecindad de $X$ según $F$ de la universidad en ese momento.

La cubierta universal de $X$ es un disco cerrado $D^{2}$ por el diagrama fundamental. Por lo tanto, por la propiedad de cobertura, tenemos una elevación única $p$ de $\mathbb{C}$ a $D^{2}$ que preserva $F$ tal que $p:D^{2}\rightarrow \mathbb{C}$ satisface $$p\circ F=q$$ donde $q$ es el mapa de cobertura de $D^{2}$ a $X$ . Más información: $p$ es holomorfo. Pero esto es contradictorio ya que por el teorema del valor medio (o principio del módulo máximo ) una función holomorfa no constante alcanza su máximo absoluto en el límite. Así, $p$ debe estar limitada por alguna constante y no puede alcanzar todo el plano complejo. Esto demostró que al menos uno de $f,g$ debe ser una constante. Y por definición esto mostró tanto $f,g$ son constantes.