Producto escalar de 3 vectores

Question

El producto escalar se puede utilizar para escribir la suma:

$$\sum_{i=1}^n a_i b_i$$

como $$a^T b$$

Existe una notación equivalente a por la siguiente suma:

$$\sum_{i=1}^n a_i b_i c_i$$

Answer 1

$${\sum_{i=1}^n} a_ib_ic_i= {\bf a}^T{\bf C}{\bf b} \hspace{0.25cm}\textrm{where}\hspace{0.25cm} \left\{ \begin{array}{}C_{ii} = c_i \\ C_{ij} = 0\end{array} \right\} , i\neq j$$

$\bf C$ es una diagonal gramo matriz de un producto escalar, donde el $\bf c$ columna-vector está en la diagonal. Sin embargo, nótese la simetría que podemos elegir también el $\bf A$ o $\bf B$ ser gramo de matrices de definir el producto escalar entre los otros dos vectores.

Esto puede ser ampliado para $N$ vectores por tener $N-2$ matrices como un producto "en el medio" y un vector de fila de la izquierda y un vector columna de la derecha. $${\bf a}^T{\bf BCd} = \sum_{i=1}^n a_ib_ic_id_i$$ y nada nos impide crear más tales matrices en el medio sin límite.

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EDITAR: Una forma más general de escribir sería:

$$\sum_{i}\prod_{k=1}^N({\bf a_k})_i = \text{Tr}\left(\prod_{k=1}^N{\bf A_k}\right)$$ A trace of a product of matrices where we enumerate the vectors $\bf a_i$ and corresponding matrix $\bf A_i$. Esto es sólo para ser capaz de obtener más prácticamente escribir con el producto y la suma de dichas anotaciones.

Answer 2

Realmente no hay una anotación específica para la suma que usted ha escrito, porque no vienen a menudo. Una razón particular por qué no, es que es coordinar dependiente: ¿qué resultado se obtiene depende de la elección concreta de los vectores de la base que use.

Para ver esto, echemos un vistazo a las 2 dimensiones de los vectores con un estándar de $\{\langle1,0\rangle,\langle0,1\rangle\}$. A continuación, el "triple" producto de los vectores $\vec{a}=\langle4,1\rangle$, $\vec{b}=\langle2,5\rangle$ y $\vec{c}=\langle3,0\rangle$$4\cdot2\cdot3+1\cdot5\cdot0=24$. Pero veamos ahora un sistema de coordenadas, $\vec{e_1}=\langle s, s\rangle$ $\vec{e_2}=\langle-s, s\rangle$ donde $s=\frac1{\sqrt{2}}$: en este sistema tenemos $\vec{a}=[5s, -3s]$, $\vec{b}=[7s, 3s]$ y $\vec{c}=[3s, -3s]$, y la suma es $(5s)\cdot(7s)\cdot(3s)+(-3s)\cdot(3s)\cdot(-3s)=105s^3+27s^3=66s$ (desde $s^2=\frac12$). Por el contrario, si observamos los 'habituales' producto escalar de dos de cualquiera de estos vectores, usted encontrará que es la misma cualquiera que sea la base de que usted use.

Por otro lado, para las tres dimensiones de los vectores no es un bien definido 'triple producto" (aunque no la fórmula de dar): puede ser definido como el producto de $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ o el determinante de la $3\times3$ matriz cuyas entradas son las coordenadas de $a$, $b$ y $c$. Tenga en cuenta que estas definiciones parecen utilizar las coordenadas, pero en realidad son de coordenadas independientes; una definición diferente que hace que la coordenada de la independencia claro es que el triple producto es el firmado el volumen del paralelepípedo generado por $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$. Este es exactamente el analógica del producto escalar (en 2 dimensiones), que es el firmado área del paralelogramo generado por los dos vectores.

Answer 3

Usted podría utilizar el producto de Hadamard (http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#Hadamard_product) $\circ$, que es sólo un elemento-sabio producto, tenemos:

$$(a\circ b)^Tc = \sum_{i=1}^n a_ib_ic_i$$

Esto sólo para dar algunos "conocidos" de la notación. Por supuesto, usted puede venir para arriba con su propia notación para la suma.

Answer 4

De verdad que no.

Varias suma de los conceptos de productos naturales para el lineal de las formas (matrices, transformaciones lineales) y para los tensores. Por ejemplo, el "convenio de sumación de Einstein" que se utiliza en la física dice que cuando escribimos $$ A_a^{i}B^{e}_{i}$$ que significa realmente el producto tensor sumar más de las repetidas índice $$ \sum_i A_a^{i}B^{e}_{i}$$

Pero que es siempre dos-índice de sumatoria.

En particular, usted no encontrará cualquier combinación de matriz de productos, sumas, los determinantes, las huellas, y transpone que la dimensión de $n$ rendimiento $$ \sum_{i=1}^n a_ib_ic_i$$

La razón por la que cuadrática expresiones son importantes y de mayor orden de las expresiones no es nada fundamental, supongo.