Reflexiva espacio de Banach: Acotamiento de subconjunto implica una escasa compacidad. Cerrado o no?

Question

Reclamo:En un reflexivo espacio de Banach, la debilidad de la compacidad de un subconjunto es equivalente a la acotamiento del subconjunto.

Pero no hay ninguna garantía de que el subconjunto acotado, sería incluso sus secuencias convergen en el subconjunto acotado. 1) Es esta declaración cierto ¿cómo es? 2) Es cierto, con la condición adicional de que el subconjunto de ser cerrado?

Nota: entiendo que débilmente compacto implica delimitada dirección de obras de la definición de compacidad débil tener estos subsecuencias convergen en el subconjunto.

Gracias

Answer 1

1. No, la afirmación no es verdadera como lo que es: Tomar la bola unidad cerrada en el espacio de Hilbert, y deseche el elemento cero. Obviamente el perforado de la bola es acotado, pero no es débilmente compacto, ya que cualquier ortonormales base converge débilmente a cero, lo que nos ha dejado.

2. No, porque se puede tomar sólo la unidad de la esfera en el espacio de Hilbert - es decir, todos los vectores cuya norma es, precisamente,$1$, y de nuevo tiene que el cero es en la debilidad de cierre de este conjunto, por lo que no es débilmente cerrado, digamos débilmente compacto.

3. Lo cierto es que en un reflexivo espacio de Banach, cada convexo, delimitado y cerrado conjunto es débilmente compacto.