Me ayudan a demostrar de forma equivalente de regular semigroup y de grupo.

Question

Deje $S$ ser un semigroup. Probar que las siguientes son equivalentes:

1. $\forall a \in S \exists! x \in S$ tal que $ax \in E(S)$ donde $E(S)$ es el conjunto de todos los idempotente.

2. $\forall a \in S \exists! x \in S$ tal que $a=axa$.

3. $S$ es regular semigroup que contiene exactamente un idempotente.

4. $S$ es un grupo.

Answer 1

Esto no tiene una respuesta completa, pero tal vez va a ayudar a los demás.

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Un regular semigroup es un semigroup $S$ tal que $I_a = \{ x : axa = a \}$ no está vacía para cada $a \in S$. Si establecemos $V(a) = \{ x : axa = a \text{ and } xax= x \}$ $V(a) \subset I_a$ $V(a)$ no está vacía iff $I_a$ no está vacía.

Un idempotente es un elemento $a \in S$ tal que $aa=a$, y la colección de idempotents de $S$ es denotado $E(S)$.

Un inversa semigroup es un habitual semigroup en el que idempotents viaje, o lo que es equivalente, de tal manera que $V(a)$ se compone de un solo elemento para todos los $a \in S$.

Si $axa=a$, $(axa)x = (a)x$ significa que $(ax)(ax) = (ax)$, de modo que $ax \in E(S)$. Del mismo modo, $x(axa) = x(a)$ significa que $xa \in E(S)$.

Si $S$ es un grupo, entonces la $I_a = \{ a^{-1} \}$$E(S) = \{1\}$, lo $4 \implies 3$.

Si $I_a$ es no vacío y $E(S) = \{ e \}$, entonces hay algo de $x$ tal que $ax = xa = e$. A continuación,$ea =(ax)a = a$$ae = a(xa) = a$, lo $e$ es un dos caras de la identidad y la $x=a^{-1}$ es un dos caras, a la inversa, y $S$ es un grupo. Por lo tanto $3 \implies 4$.

Claramente $4 \implies 1,2$ $x=a^{-1}$ la solución única cada vez.

Suponga que 1. A continuación, para cada una de las $x$ hay un único, $x$ tal que $axax=ax$. Tenga en cuenta que$a(xax) \in E(S)$$x=xax$. Por lo tanto $(xa)(xa) = (xax)a = xa$$xa \in E(S)$, pero también se $x(axa) \in E(S)$, lo $axa =a$. Por lo tanto $x \in I_a$. Ahora supongamos $y \in I_a$. A continuación,$aya=a$, lo $(ay)^2 = ayay = ay$$ay \in E(S)$. Por lo tanto $y=x$, e $1 \implies 2$.

Suponga que 1. Si $a \in S$, vamos a $a^{-1}$ denotar la única solución a $aa^{-1} \in E(S)$. Como antes, si $aa^{-1}aa^{-1} = aa^{-1}$, lo $a^{-1} a a^{-1} = a^{-1}$$a^{-1} a a^{-1} a = a^{-1} a$, lo $(a^{-1})^{-1} = a$. Por lo tanto $a a^{-1} a = a$, e $S$ es regular semigroup. Si $axa=a$,$axax=ax$$x=a^{-1}$, lo $S$ también satisface el 2 y el similar de $xax=x$, por lo que el $S$ es una inversa semigroup, y por el teorema idempotents viaje. Eso significa que $(ef)^2 = e^2 f^2 = ef \in E(S)$, pero $e^{-1}$ es la única solución a $ex \in E(S)$. Por lo tanto $f=e^{-1}=e$, y el idempotents son únicos. Por lo tanto $1 \implies 3$.

Así que tenemos una única implicación restante: $2 \stackrel{?}{\implies} 1$.

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Ahora algo muy cercano a 2 no implica 4. 2' Supongamos que para cada una de las $a \in S$ no es exactamente una $x$ tanto $axa=a$$xax=x$.

Semigroups satisfacer $2'$ son llamados inversa semigroups, y no necesitan ser grupos. Para el viejo y simple 2, aunque, no he encontrado un no-grupo inversa semigroup que funciona.

Answer 2

Añadiendo a lo que Jack Schmidt ha escrito, déjame probar que 2 implica 4.

Si para todas las $a$ existe un único $x$ tal que $axa = a$, $x$ satisface $xax = x$ desde $a(xax)a = (axa)xa = axa = a$. Así que hemos de Jack 2', es decir, la semigroup es una inversa semigroup. Por $a$, vamos a $a^\ast$ indican que $x$.

Idempotents en inversa semigroups viaje. Este parece ser bien conocido, pero la prueba se puede encontrar aquí: Hacer el idempotents en una inversa semigroup viaje?

Ahora podemos deducir lo siguiente:

1. $(ab)^\ast = b^\ast a^\ast$ (debido a $abb^\ast a^\ast ab = a a^\ast a b b^\ast b = ab$, utilizando el hecho de que $b b^\ast$ $a^\ast a$ son idempotente y por lo tanto conmutan).

2. Si $e$ es idempotente, entonces $e^\ast = e$ (desde $eee = e$).

3. Para cualquier $x$ si $axa = a$$bxb = b$, $a = b$ (desde $axa = a$ implica $xax = x$ implica $a = x^\ast$, y de manera similar a $b = x^\ast$).

Ahora vamos a $e$ ser cualquier idempotente y deje $a$ cualquier elemento. Vamos a mostrar que el $ae = a$. De hecho, tenemos $ae a^\ast ae = aee a^\ast ae = ae e^\ast a^\ast ae = ae (ae)^\ast ae = ae$ utilizando, a su vez, idempotence de $e$, 2., 1., y la definición de las $(ae)^\ast$. También tenemos $a a^\ast a = a$; por lo tanto, $ae = a$ por una aplicación de 3.

Por un razonamiento similar, $ea = a$. Por lo tanto, cualquier idempotente $e$ es un elemento de identidad, o más bien digamos que el elemento de identidad $1$. Desde $a a^\ast$ $a^\ast a$ son idempotente, tenemos $a a^\ast = 1 = a^\ast a$ y estamos en un grupo.

Me voy a parar aquí porque veo que alguien ha publicado una respuesta.

Answer 3

Yo prefiero a resolver este problema en esta forma : $1=>2=>3=>4=>1$

$1=>2$ :

$ax \in E(S)$ significa $\forall k \in S$ ; $k(ax)=(ax)k=k$ . debido a $x$ es único e $a\in S$ así que vamos a $k = a$ $a(ax)=(ax)a=a$ $axa=a$

$2=>3$ :

Primero de todo, es mejor usar $a^*$ insisten en de $x$.

por lo $2$ como este : $\forall a \in S \exists! a^* \in S$ tal que $a=aa^*a$.

Pretendemos que $aa^*$ es el único idempotente.

Demostrar : que es suficiente para demostrar que $\forall b\in S ; (aa^*)b=b(aa^*)=b$

I) $aa^*a=a => aa^*aa^*=aa^*$

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II) $aa^*aa^*=aa^* => aa^* (aa^*) aa^* = aa^* aa^* =>$debido a $(I)$$aa^* (aa^*) aa^* = aa^* => (aa^*)^* = aa^*$

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III) Supongamos que $\exists X , X\in S$ $a^*X=a^*$

Así que tenemos $a^*X=a^* => aa^*X=aa^* => aa^* (X) aa^* =aa^*aa^*=>$ debido a $(I)$ $aa^* (X) aa^* =aa^*$ eso significa que $X = (aa^*)^* = aa^*$(debido a $(II)$) por lo que podemos decir $a^*aa^*=a^*$

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IV) vamos a demostrar que no es $X\in S$ que $\forall A,B \in S;$ $BX=A$

$BX=A => A^*BX=A^*A => A^*B(X)A^*B =(A^*AA^*)B =>$ debido a $(III)$ $A^*B(X)A^*B =A^*B => X=(A^*B)^* \in S$ y también se $B(A^*B)^* = A$

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V) Para todos los $a,b,x\in S$ Deje $A=aa^*$ $B=ax$

Así tenemos : $(IV)$ $B(A^*B)^* = A => ax((aa^*)^*ax)^*=aa^* =>$ porque de $(II)$ $ax((aa^*)ax)^*=aa^* => ax((aa^*a)x)^*=aa^* => ax(ax)^*=aa^*$

Deje $x = (b^*a)^* => ax = b$(debido a IV)

Ahora ponemos que en la principal ecuación : $ax(ax)^*=aa^* => bb^*=aa^*$

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VI) vamos a demostrar que no es $X\in S$ que $\forall A,B \in S;$ $XB=A$

$XB=A => XBA^*=AA^* => BA^*(X)BA^*=B(A^*AA^*)=>$ debido a $(III)$ $BA^*(X)BA^*=BA^* => X=(BA^*)^* \in S$ y también se $(BA^*)^*B=A$

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VII) Para todos los $a,b,x\in S$ Deje $A=aa^*$ $B=xa^*$

Así tenemos : $(VI)$ $(BA^*)^*B=A => (xa^*(aa^*)^*)^*xa^*=aa^* =>$porque de $(II)$ $(xa^*aa^*)^*xa^*=aa^*=>$ porque de $(III)$ $(xa^*)^*xa^*=aa^*$

Deje $x=(a^*b^*)^* => xa = (a^*b^*)^* a = b$ (debido a $VI$)

Ahora ponemos que en la principal ecuación : $(xa^*)^*xa^*=aa^* => b^*b=aa^*$

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VIII) $(V)$ $(VII) => \forall b\in S ; bb^*=b^*b$

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Ahora pretendemos que $aa^*$ es el único idempotente.

$\forall b\in S$

$b=bb^*b=b(bb^*)=$(a causa de $(V)$)$baa^*$

$b=bb^*b=(bb^*)b=$(a causa de$(VIII)$)$(b^*b)b=(aa^*)b$

Por lo $b(aa^*)=(aa^*)b=b$

$3=>4$:

Para probar esto basta para mostrar que $\forall a\in S : \exists! x \in S ; ax=xa=e$

$3=>\forall a\in S : \exists! x \in S ; axa=a$:

$axa=a => a(xa)=a => xa = e$

$axa=a => (ax)a=a => ax = e$

Así : $ax=xa=e=>$ $x$ es la inversa de a $a$ $x$ es único, $=> S$ es un grupo.

$4=>1$:

$S$ es un grupo así $\forall a\in S ; \exists!$ $a^{-1};aa^{-1}=e \in E(S)$ así, en $1$ deje $x=a^{-1}$