Ejemplo de conjunto finito exterior medida, subconjuntos, donde el exterior de la medida no convergen

Question

¿Cuál es un ejemplo de un conjunto $X$ y un finito exterior de medida $\mu^*$$X$, subconjuntos $A_n \uparrow A$$X$, y los subconjuntos $B_n \downarrow B$ $X$ tal que $\mu^*(A_n)$ no converge a $\mu^*(A)$ $\mu^*(B_n)$ no converge a $\mu^*(B)$?

Answer 1

Deje $X = \mathbb{R}$ $\mu^{\star}(A) = 0$ si $A$ es contable, $\mu^{\star}(A) = 1$ si ambos $A$ $\mathbb{R} \setminus A$ son innumerables y $\mu^{\star}(A) = 2$ si $\mathbb{R} \setminus A$ es contable. Compruebe que $\mu^{\star}$ es una medida exterior.

Poner $A_n = [-n, n]$, $B_n = [n, \infty)$ y de verificación.