Una forma más elegante de la declaración de la misma teorema sería decir:
Deje $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb C$ ser una función. A continuación, $f$ es holomorphic si alguno sólo si la mejor aproximación lineal para $f(z)$ sobre un punto de $z_0$ puede ser escrita como, para algunos,$c\in\mathbb C$:
$$f(z_0)+c(z-z_0).$$
Tenga en cuenta que cuando decimos "aproximación lineal", nos referimos a "lineal en $\mathbb R$" - por ejemplo, una función como
$$f(x+iy)=x+iy^2$$
no es holomorphic porque cerca de $z_0=0$, se puede calcular la mejor aproximación lineal de $f(x+iy)$$x$, ya que la derivada de $y^2$ con respecto al $y$ (o $x$) $0$ no. Sin embargo, no se $c$ tal que $x=c(x+iy)$, contradiciendo la hipótesis. Esto significa que, cerca de $0$, $f$ está actuando como la proyección de $(x+iy)$ sobre el eje real.
Sin embargo, una función como
$$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi$$
ha, cerca de cualquier punto de $z_0=x_0+iy_0$ que podemos aproximado
$$f(x+iy)\approx f(z_0) + 2x_0(x-x_0)-2y_0(y-y_0)+(2x_0(y-y_0)+2y_0(x-x_0))i$$
donde podemos reescribir el lado izquierdo, después de agrupar términos y pensar un poco como
$$f(x+iy)\approx f(z_0) + (2x_0+2iy_0)((x+iy)-(x_0+iy_0))$$
$$f(z)\approx f(z_0) + 2z_0(z-z_0)$$
que es de la forma deseada. Sin embargo, una función como $f(z_0)+c(z-z_0)$ tiene una buena interpretación: es una espiral de similitud centrado en $z_0$ que gira por $\arg(c)$ y escalas por $|c|$. Esto excluye la posibilidad de $f$ podría actuar como una proyección, como lo hizo en la no-holomorphic ejemplo. (Observe que $c=f'(z_0)$, por lo que esto le da un preciso sentido geométrico para el argumento y el módulo de la derivada en un punto)
Así que, realmente una interpretación geométrica simple es:
$f$ es holomorphic si y sólo si la mejor aproximación lineal para $f$ sobre cualquier punto es una espiral de similitud.
Podemos obtener un poco más profundo que esto, sin embargo. Observe que cualquier espiral similitud conserva los ángulos. Por lo tanto, tanto tiempo como $f'(z_0)$ no es cero en un punto, cerca del punto de $z_0$, la función de $f$ actuará como un particular espiral de similitud y, por tanto, preservar cualquier ángulo con vértice en a $z_0$. Si $f'(z_0)$ está en ninguna parte de cero, esto significa que $f$ es el ángulo de la preservación, es decir, si llegáramos a cualquier figura en $\mathbb C$, luego miró a su imagen, los ángulos de la figura en la imagen iba a ser igual a los que en el original. Llamamos a un mapa de "conformación" si se tiene esta propiedad de la preservación de los ángulos que se le da a la interpretación:
Si $f$ es un mapa de conformación $\mathbb C\rightarrow \mathbb C$, entonces es holomorphic.
y, más generalmente, como la $f$ podría no ser conformada en donde $f'(z_0)=0$ - por ejemplo, dibujando un ángulo recto en $0$ sobre el plano complejo mediante el trazado de un camino a lo largo de los puntos de $i$ $0$ $1$ luego de la aplicación de la holomorphic mapa de $z\mapsto z^2$ da la imagen como un camino de$-1$$0$%#%, con un ángulo de $1$ - el doble del ángulo original. (Esto está relacionado con el por qué de Cauchy de la integral teorema de obras).
