Probar que existe un número infinito de pares de números reales positivos $\alpha$ $\beta$ tal que $\alpha^\alpha = \beta^\beta$

Question

Yo estaba buscando en línea para algunos de los difíciles problemas de Cálculo y esta sacado de mí.

Un ejemplo de un par de números serían $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ porque

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{4}} $$

En la pregunta que me estaba mirando, no fue una sugerencia que le dijo a considerar la función de $f(x) = x^x$$x > 0$, y centrarse en el intervalo de $(0, 1]$.

Answer 1

Considere la función $f(x)=x^x=e^{x\log x}$. Su derivada es $$ f'(x)=e^{x\log x}\left(\log x+x\frac{1}{x}\right)=x^x(1+\log x) $$ Se puede discutir los intervalos donde $f$ está aumentando o disminuyendo? ¿Qué se puede concluir?

Answer 2

$$a^a=b^b\iff\bigg(\frac1A\bigg)^\frac1A=\bigg(\frac1B\bigg)^\frac1B\iff\frac1{\sqrt[A]A}=\frac1{\sqrt[B]B}\iff\sqrt[A]A=\sqrt[B]B$$ Now, plot $f(x)=\sqrt[x]x$, y me dicen lo que se observa. :-)

Answer 3

Una variación en @Lucian respuesta: $$a^a=b^b\quad\Leftrightarrow\quad a\ln a=b\ln b\ .$$ Ahora conspiran $f(x)=x\ln x$ y ver lo que se observa.