Definición de mapa

Question

Estoy siguiendo Shaferevich Básicos de la Geometría Algebraica 1.Aquí quasiprojective variedad significa abrir subconjunto de un proyectiva conjunto cerrado. Él define regular mapas entre quasiprojecive de variedades (en la sección 4.2) como localmente $f:U\rightarrow \mathbb A_i^m$ es regular. Mi pregunta es cómo definir el mapa $f:X\rightarrow Y$ donde $X$ puede ser abierto subconjunto de $\mathbb A^n$ o subconjunto cerrado de $\mathbb A^n$ o quasiprojective y $Y$ puede ser abierto subconjunto de $\mathbb A^n$ o subconjunto cerrado de $\mathbb A^n$ o quasiprojective. Si tanto $X$ $Y$ están cerrados subconjunto de algunos afín espacio, entonces, sé que $f$ está dada por los polinomios. Pero, ¿qué acerca de los otros casos.

Sé subconjunto cerrado o abierto subconjunto de de $\mathbb A^n$ puede ser considerado como quasiprojective en $\mathbb P^n$ (después de la identificación de $\mathbb A^n$ uno de $\mathbb A_i^n$$\mathbb P^n$, e identificando me refiero a establecer teóricamente, al menos Shaferevich dice así[Discusión después del Lexema $1.1$ en la sección $4.1$] ). Para comprobar el mapa es regular necesito para identificar tanto las $X$ $Y$ a los subconjuntos de a $\mathbb P^n$ $\mathbb P^m$ respectivamente y, a continuación, comprobar el mapa correspondiente es regular?

Permítanme hablar de un ejemplo:

Necesito mostrar $\mathbb A^1-\{0\}$ es isomorfo a$Z(T_1T_2-1)$$\mathbb A^2$. Permite identificar a $\mathbb A^1-\{0\}$$X=\{(1:x) :x\in k^* \}\subset\mathbb P^1$$Z(T_1T_2-1)$$Y=\{(1:x:y):x,y\in k,xy=1\}$, de modo que tanto $X$ $Y$ son quasiprojective variedades. A continuación, definir $\begin{equation} f:X\rightarrow Y\\ (1:x)\mapsto (1:x:\frac{1}{x}) \end{equation}$

$\begin{equation} g:Y\rightarrow X\\ (1:x:y)\mapsto (1:x) \end{equation}$

Si las coordenadas de a $\mathbb P^1$ $S_0, S_1$ e de $\mathbb P^2$ $T_0, T_1, T_2$ $f$ está dado por $1, \frac{S_1}{S_0}, \frac{S_0}{S_1}$ $g$ está dado por $1, \frac{T_1}{T_0}$. Por lo tanto $f$ $g$ son regulares y también son inversos el uno del otro.

Este método es correcto o estoy cometiendo algún error o hacerlo en una forma complicada?

Por favor, ayúdame a entender. Gracias

Answer 1

Realmente no hay ningún motivo para considerar estas variedades, uno de los cuales es afín y el otro, que es (a priori) cuasi-afín como cuasi-proyectiva, se definen funciones regulares en la misma forma. Así que sí, su método es correcto, pero no es necesario el uso de espacios proyectivos o coordenadas de aquí. Usted puede simplemente considerar a estos como los subconjuntos de a$\mathbb{A}^1$$\mathbb{A}^2$, respectivamente.

También, el mapa está bien definido sólo porque usted asigna parte de un particular afín coordinar gráfico en $\mathbb{P}^1$ a un particular afín gráfico en $\mathbb{P}^2$, en general, para las variedades usted tendrá que comprobar algunas de encolado condiciones.