Representaciones de la cadena de tres trenza grupo

Question

¿Conoces algún explícita construcciones de las familias de irreductible finito representaciones tridimensionales de la cadena de tres trenza grupo?

Voy a describir lo que ya sé y, a continuación, invitamos a sugerir alternativas. Esto es algo de composición abierta, así que yo también plantean algunas más precisas a las preguntas.

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Este problema es resuelto por la dimensión en la mayoría de los cinco en http://arxiv.org/abs/math/9912013 por Imre Tuba, Hans Wenzl y publicado en el Pacífico Diario de las Matemáticas. Así que estoy especialmente interesado en seis representaciones tridimensionales.

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La presentación habitual es que los generadores $\sigma_1$, $\sigma_2$ y la relación $\sigma_1\sigma_2\sigma_1=\sigma_2\sigma_1\sigma_2$. Una alternativa es que los generadores $s$, $t$ y la relación $s^2=t^3$ donde$s=\sigma_1\sigma_2\sigma_1$$t=\sigma_1\sigma_2$. Esto muestra que tenemos una extensión central de el producto libre de $C_2$$C_3$.

Dada una representación de la dimensión $N$ tomar las dimensiones de los subespacios propios de a$s$$t$. Luego tenemos a $n_1+n_2=N$$m_1+m_2+m_3=N$. Si la representación es irreductible, a continuación,$n_i\ge m_j$. Los datos de las etiquetas de la irreductible de los componentes de la variedad de representaciones irreducibles de dimensión $N$. La dimensión de la componente es $N^2-n_1^2-n_2^2-m_1^2-m_2^2-m_3^2+2$. Para $N=6$ hemos

• (4,2) y (2,2,2) de dimensión 6
• (3,3) y (2,2,2) de dimensión 8
• (3,3) y (3,2,1) de dimensión 6
• (3,3) y (3,3,0) de la dimensión 2

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El caso (3,3) y (3,2,1) es muy interesante, debido a que estas representaciones no se deforman a las representaciones del grupo simétrico.

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Se puede dar una representación y una trenza $\alpha$ tal de que la traza de $\alpha$ y el rastro de la trenza dado por la lectura de $\alpha$ hacia atrás son diferentes? Tengo un ejemplo de dimensión 12.

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La descripción como una extensión central de el producto libre significa que tenemos una construcción que se asocia una representación para cada matriz invertible (para cada componente).

Me gustaría mejorar en esto de dos maneras. Primero esto es difícil de manejar. Segundo me gustaría ser capaz de especificar los valores propios de a $\sigma_1$. Esto significa que pasa a cubrir el espacio de moduli.

Answer 1

Bruce, Me puede dar representantes más para abrir el pieza de el espacio de moduli (3,3) resp. (3,2,1). Voy a añadir en Mathematica-formulario de modo que usted puede conectar en cualquier trenza te gusta trabajar. Las variables a,b,d,x,y,z son las coordenadas del espacio de moduli y l representa un tercio de la raíz de la unidad (no sé cómo decirle a Mathematica para trabajar con las raíces de la unidad, así que si usted sabe reemplazar l por que la cosa). Obtuve estos representantes más de la hexagonal de 1-dml simples de la estructura modular del grupo y tomando el vector de dimensión (1,1,1,2,1,0) como se requiere. Los correspondientes módulos problema entonces es racional (en x,y,z) sobre la de los pares de 2x2 matrices de rango uno. estos son racionales (en a,b,d). Espero que esto ayude (y lo siento por el largo de las fórmulas más abajo).

sigma1={{-(1 - a - b - d + a d + a x - a x - b x - d x + d x + l x - l x - d x - d l x + a d l x - y + y) z, -(-1 + l) (b + d - a d - l + l + b l + d l - d l) z -(-1 + l) z, -(-1 + l) (1 - a - b - d + a d + l - a l - b l - d l + d l - y + y) z, (-1 + l) z, (b + d - d) (-1 + l) z}, {-(-1 + a) (-1 + i) (1 + l) x y z, - (a-b - d + a d + l - l + b x + d x - d x - l x + l x + y - y + l y - l y) z, (-1 + l) (-1 + x) z, (-1 + a) (-1 + l) (l + x) y z, -(-1 + l) (-1 + x) z, a -(b + d - d') (-1 + l) (-1 + x) z}, {b (-1 + l) (1 + l) x y z, b (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, (a + b - a d - l + d l - a x - b x + d x + l x - d l x - y + l y) z, a-b (-1 + l) (l + x) y z, (-1 + l) (a + b - a d - a x - b x + d x - y) z, a-b (-1 + l) (-1 + x + y) z}, {-(1 - a - b - d + d') (-1 + i) (1 + l) x z, (-1 + l) (b + d - a d - l + l + b l + d l - d l) z, (-1 + l) z -(1 - a - b - d + a d + l - a l - b l - d l + d l + x - a x - b x - d x + d x + l y - l y) z, -(-1 + l) z, a -(b + d - d) (-1 + l) z}, {-b (-1 + l) (1 + l) x y z, a - b (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, (-1 + l) (1 - d - x + d x - y), z, b (-1 + l) (l + x) y z, -(-1 + d + l + b de l a d de l + x - d x - l x - l b x + a d l, x + y - a l y) z, b (-1 + l) (-1 + x + y) z}, {(-1 + a) (-1 + i) (1 + l) x y z, (-1 + a) (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, -(-1 + l) (-1 + x) z -(-1 + a) (-1 + l) (l + x) y z, (-1 + l) (-1 + x) z, -(-1 + a + b + l + d l - d l + x - a x - b x - d l x + a d l, x + y - y) z}}

sigma2={{-(1 - a - b - d + a d + a x - a x - b x - d x + d x + l x - l x - d x - d l x + a d l x - y + y) z, -(-1 + l) (b + d - a d - l + l + b l + d l - d l) z -(-1 + l) z, (-1 + l) (1 - a - b - d + a d + l - a l - b l - d l + d l - y + y) z, -(-1 + l) z, a -(b + d - d) (-1 + l) z}, {-(-1 + a) (-1 + i) (1 + l) x y z, - (a-b - d + a d + l - l + b x + d x - d x - l x + l x + y - y + l y - l y) z, (-1 + l) (-1 + x) z -(-1 + a) (-1 + l) (l + x) y z, (-1 + l) (-1 + x) z, (b + d - d') (-1 + l) (-1 + x) z}, {b (-1 + l) (1 + l) x y z, b (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, ( a + b - a d - l + d l - a x - b x + d x + l x - d l x - y + l y) z, b (-1 + l) (l + x) y z, -(-1 + l) (a + b - a d - a x - b x + d x - y) z, b (-1 + l) (-1 + x + y) z}, {(1 - a - b - d + d') (-1 + i) (1 + l) x z, -(-1 + l) (b + d - a d - l + l + b l + d l - d l) z, -(-1 + l) z -(1 - a - b - d + a d + l - a l - b l - d l + d l + x - a x - b x - d x + d x + l y - l y) z, -(-1 + l) z, a -(b + d - d) (-1 + l) z}, {b (-1 + l) (1 + l) x y z, b (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, -(-1 + l) (1 - d - x + d x - y), z, b (-1 + l) (l + x) y z, -(-1 + d + l + b de l a d de l + x - d x - l x - l b x + a d l, x + y - a l y) z, b (-1 + l) (-1 + x + y) z}, {-(-1 + a) (-1 + i) (1 + l) x y z, -(-1 + a) (-1 + l) (-1 + x + y + l y) z, (-1 + l) (-1 + x) z -(-1 + a) (-1 + l) ( l + x) y z, (-1 + l) (-1 + x) z -(-1 + a + b + l + d l - d l + x - a x - b x - d l x + a d l, x + y - y) z}}

EDICIÓN del 9 de Marzo : El componente (3,3;3,2,1) no es capaz de detectar la trenza-reversión. Por otro lado, el componente de 6-representaciones tridimensionales (3,3;2,2,2). Un mínimo de trenza que pueden ser separados por esta familia a partir de su trenza invertida es s1^-1s2^2s1^-1s2. Uno puede mostrar que cada componente irreducible de simple B(3)-representaciones tiene un Zariski denso familia parametrizadas por un mínimo de variedad racional. Para las representaciones de dimensión <= 11 explícito de estas familias se dan en esta nota.

Cada una de estas familias puede ser convertida en una familia de 3-cadena de la trenza invariantes sobre P(rho) de la rho de una primitiva 3-rd raíz de la unidad especializada de los parámetros aleatorios enteros. Para la familia (3,3;2,2,2) se mencionó anteriormente esto se puede hacer en SAGE como sigue :

K.=NumberField(x^2+x+1)
a=randint(1,1000)
b=randint(1,1000)
c=randint(1,1000)
d=randint(1,1000)
e=randint(1,1000)
f=randint(1,1000)
g=randint(1,1000)
h=randint(1,1000)

B=matriz(K,[[1,0,0,un,0,f],[0,1,1,0,1,0],[1,1,0,1,0,0],[0,0,1,0,d,e],[0,1,0,b,c,0],[g,0,1,0,0,1]])
Binv=B. inversa()

mat2=matrix(K,[[1,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,-1]])
mat3=matrix(K,[[1,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0],[0,0,l^2,0,0,0],[0,0,0,l^2,0,0],[0,0,0,0,l,0],[0,0,0,0,0,l]])
s1=h*Binv*mat3*B*mat2
s2=h*mat2*Binv*mat3*B

s1inv=s1.inversa()
s2inv=s2.inversa()

Uno puede comprobar a continuación, la trenza-reversión de todos los nudos con un máximo de 8 cruces que son los cierres de 3-cadena de trenzas. Aquí están las pruebas a realizar

test41=(s1inv*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1inv).trace()
test52=(s1inv**3*s2inv*s1*s2inv-s2inv*s1*s2inv*s1inv**3).trace()
test62=(s1inv**3*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1inv**3).trace()
test63=(s1inv**2*s2*s1inv*s2**2-s2**2*s1inv*s2*s1inv**2).trace()
test73=(s1**5*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1**5).trace()
test75=(s1inv**4*s2inv*s1*s2inv**2-s2inv**2*s1*s2inv*s1inv**4).trace()
test82=(s1inv**5*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1inv**5).trace()
test85=(s1**3*s2inv*s1**3*s2inv-s2inv*s1**3*s2inv*s1**3).trace()
test87=(s1**4*s2inv*s1*s2inv**2-s2inv**2*s1*s2inv*s1**4).trace()
test89=(s1inv**3*s2*s1inv*s2**3-s2**3*s1inv*s2*s1inv**3).trace()
test810=(s1**3*s2inv*s1**2*s2inv**2-s2inv**2*s1**2*s2inv*s1**3).trace()
test816=(s1inv**2*s2*s1inv**2*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1inv**2*s2*s1inv**2).trace()
test817=(s1inv**2*s2*s1inv*s2*s1inv*s2**2-s2**2*s1inv*s2*s1inv*s2*s1inv**2).trace()
test818=(s1inv*s2*s1inv*s2*s1inv*s2*s1inv*s2-s2*s1inv*s2*s1inv*s2*s1inv*s2*s1inv).trace()
test819=(s1**3*s2*s1**3*s2-s2*s1**3*s2*s1**3).trace()
test820=(s1**3*s2inv*s1inv**3*s2inv-s2inv*s1inv**3*s2inv*s1**3).trace()
test821=(s1inv**3*s2inv*s1**2*s2inv**2-s2inv**2*s1**2*s2inv*s1inv**3).trace()

Las siguientes pruebas deben dar a los no-cero invariantes : 6.3,7.5,8.7,8.9,8.10 (cuales son conocidos como 'flypes' en la teoría) y 8.17 ( no invertible nudo con el mínimo número de pasos a nivel). He intentado incluir todos los detalles en la nota de la Racionalidad y la densa familias de B(3) representaciones. Todos los comentarios a este texto son bienvenidos. Me gustaría agradecer a Bruce Westbury para darme con la retroalimentación.