Triples pitagóricos y cuadrados perfectos

Question

Este problema me está dando dificultades:

Demuestre que en cualquier triple pitagórico existe a lo sumo un único cuadrado perfecto

Hasta ahora he estado trabajando con las ecuaciones de los triples pitagóricos primitivos (es decir $x = m^2 - n^2$ , $y = 2mn$ , $z = m^2 + n^2$ ) pero eso no ha funcionado y el problema no requiere necesariamente que los triples sean primitivos, así que estoy atascado aquí. Agradeceré cualquier ayuda.

Answer 1

Un gran esfuerzo de Warren. Bueno, si tienes dos o más tripletas pitagóricas que sean cuadrados obtienes una diofantina trivial sin soluciones. Son: $r^2+s^4=t^4$ y $r^4+s^4 =t^2$ .

Answer 2

¿Conoce lo siguiente?

El área de un triángulo pitagórico nunca es cuadrada.

Para una prueba, dejemos $H$ sea el conjunto de $h>0$ tal que existe un triángulo pitagórico primitivo de hipotenusa $h$ cuya área es cuadrada. Supongamos que $H\ne\emptyset$ , entonces podemos tomar $h_0=\min\left(H\right)$ y escribir $h_0^2=x^2+y^2$ para algunos $x,y>0$ . Uno de $x$ , $y$ debe ser par, por lo que se supone que $2\mid x$ .

El área del triángulo pitagórico viene dada por $A=\frac{1}{2}xy$ y como el triple es primitivo, podemos escribir: \begin{equation*} A = \frac{1}{2}xy= \frac{1}{2}\cdot 2pq\left(p^2-q^2\right) = pq\left(p+q\right)\left(p-q\right). \end{equation*} Pero $p$ , $q$ , $p+q$ , $p-q$ son coprimas entre sí, y su producto es un cuadrado, por lo que podemos escribir \begin{align*} p &= r^2, & q &= s^2, & p+q &= t^2, & p-q &= u^2, \end{align*} para algunos $r,s,t,u>0$ . Juntando todo esto obtenemos que: \begin{equation*} t^2=u^2+2s^2\Longleftrightarrow 2s^2=\left(t+u\right)\left(t-u\right), \end{equation*} así que $2\mid \left(t+u\right)\left(t-u\right)$ . El producto de dos enteros es par si y sólo si al menos uno de los enteros es par. Pero si $2\mid\left(t+u\right)$ o $2\mid\left(t-u\right)$ entonces $t$ y $u$ deben tener la misma paridad, y se deduce que $2\mid\left(t\pm u\right)$ .

Desde $\left(t^2,u^2\right)=1$ Debemos tener $\left(t+u,t-u\right)=2$ y por lo tanto podemos escribir: \begin{align*} t+u &= 2v_0, & t-u &= 2w_0, \end{align*} para algunos $v_0,w_0>0$ con $\left(v_0,w_0\right)=1$ . Recordemos que: \begin{align*} 2s^2 &= \left(t+u\right)\left(t-u\right)= 4v_0w_0, \\ s^2 &= 2v_0w_0. \end{align*} Así que uno de $v_0$ , $w_0$ debe ser un cuadrado, y el otro debe ser dos veces un cuadrado. Por lo tanto, $v_0=v^2$ , $w_0=2w^2$ y..: \begin{align*} t+u &= 2v^2, & t-u &= 4w^2, \end{align*} o viceversa. Obsérvese que en cualquiera de los dos casos, obtenemos que $s=2vw$ . Ahora sumando y restando las ecuaciones anteriores vemos que: \begin{align*} t &= v^2+2w^2, & \pm u &= v^2-2w^2. \end{align*} En consecuencia: \begin{equation*} r^2=p=\frac{1}{2}\left(t^2+u^2\right)=v^4+4w^4, \end{equation*} y $\left(v^2,2w^2,r\right)$ forma un triángulo pitagórico con área $\left(vw\right)^2$ Así que $r=\sqrt{p}\in H$ . Pero $h_0=p^2+q^2$ y claramente $\sqrt{p}<p^2+q^2$ Así que $r<h_0$ contradiciendo la minimidad de $h_0$ .

---

Cualquier triple pitagórico con más de un cuadrado perfecto satisfaría la ecuación diofantina $x^4+y^4=z^2$ o $x^4+y^2=z^4$ y puedes encontrar triángulos pitagóricos con áreas cuadradas si cualquiera de estas ecuaciones tiene soluciones enteras.