P(R) está contenida en Nulo(R) para no conmutativa anillos.

Question

Cómo mostrar que $P(R)$ está contenido en $\operatorname{Nil}(R)$ (donde $R$ es no conmutativa anillo con identidad)?

Definiciones estoy usando:

• Un nil ideal de derecho es aquel cuyos elementos son todos nilpotent.
• Un primer ideal es de dos caras ideal que satisface la propiedad: $aRb$ $I$ implica $a$ $I$ o $b$$I$.
• $P(R)$ es la intersección de todos los primer ideales.
• $\operatorname{Nil}(R)$ es la suma de todos los derechos nil ideales de $R$.

Answer 1

Esto es fácil, ya que $P(R)$ es un nil ideal. Felizmente, esto puede ser visto usando las ideas de la propiedad conmutativa de la teoría.

Prueba

Supongamos que al contrario que $x\in P(R)$ no es nilpotent. A continuación, $\{1,x,x^2,x^3\dots\}$ es un multiplicatively sistema cerrado disjunta de a $\{0\}$. Utilizar el habitual lema de Zorn argumento, encontrar un ideal de a $I$ que es maximal con respecto a ser distinto de los poderes de la $x$.

Primero nos sostienen que $I$ es un alojamiento ideal. Deje $aRb\subseteq I$$a,b\notin I$. Por maximality, $x^n\in RaR+I$ algunos $n$, e $x^k\in RbR+I$ algunos $k$. Pero, a continuación,$x^{n+k}\in(RaR+I)(RbR+I)\subseteq I$, una contradicción. Por lo tanto, al menos uno de $a,b$$I$, lo que demuestra la primeness de $I$.

Pero la existencia de este primer ideal $I$ disjunta de los poderes de la $x$ testigos que $x\notin P(R)$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $x$ es nilpotent.

Por lo tanto $P(R)$ es un nil ideal, y por lo tanto es trivialmente contenida en $Nil(R)$.

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