Hay una puramente algebraica de la prueba para el teorema de Pitágoras que no se basa en una representación geométrica? Sólo álgebra/cálculo. Quiero entender REALMENTE el por QUÉ de cómo es cierto. Yo sé que funciona y sé que el geométrica de las pruebas.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El enfoque "moderno" que es este : primero debemos definir el campo $\mathbb{R}$ (por ejemplo, es el único totalmente ordenado de campo con el supremum de la propiedad).
A continuación, definimos lo que es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial es : es un grupo abelian con una acción externa de $\mathbb{R}$ satifying algunos axiomas.
A continuación, hay una noción de dimensión : podemos definir un espacio vectorial de dimensión $2$.
La noción de la distancia Euclídea se obtiene mediante la definición de lo que es un producto interior : es un bilineal simétrica forma tal que $\langle x,x\rangle>0$ si $x\neq 0$. La distancia es, a continuación,$||x-y||$$||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. También tenemos la noción de ortogonalidad de este producto interior.
Bien, una vez que se hizo eso, entonces el teorema de Pitágoras es una trivialidad : $||x-y||^2 = \langle x-y,x-y \rangle = \langle x,x \rangle - 2\langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle = ||x||^2 + ||y||^2$ (asumiendo, por supuesto, que $\langle x,y\rangle=0$, la hipótesis de ortogonalidad).
Por supuesto, todo el trabajo fue en las definiciones, lo cual es contrario al enfoque básico de la geometría de la que se deduce de las propiedades de la distancia a partir de un conjunto de axiomas (generalmente mal definido, pero puede ser preciso con un poco de trabajo).
Lo interesante de este enfoque moderno es que las estructuras algebraicas venir antes geométrica de contenido. Esto es de gran alcance porque, estructuras algebraicas tienen suficiente rigidez. Por ejemplo, si usted comienza con un conjunto de puntos y líneas de satisfacer algunas de incidencia axiomas, es muy difícil definir lo que significa que tiene una cierta dimensión. Pero si usted tiene una estructura de espacio vectorial, entonces es fácil.
Por supuesto que puede ser un poco decepcionante porque se siente como que "engañado" : hemos hecho el teorema obvio por algo de ponerlo en las definiciones. Pero, por otro lado, es muy claro y preciso : se puede definir correctamente lo que la distancia o el ángulo es el uso de "geometría de la escuela secundaria" ? No es tan fácil. Incluso en Euclide y sus Elementos, esto es amable de poner debajo de la alfombra como "primitivas nociones". Este enfoque hace que todo lo perfectamente bien definido y fácil de trabajar con.
Una "prueba" de que el Teorema de Pitágoras depende de algún tipo de definiciones de:
- ángulo recto
- longitud/área de
- stright línea
Los axiomas de Euclides no son completamente formalizado, pero tenemos otras formal axiomática de los sistemas que imitan a los de euclides los axiomas y las definiciones de estos conceptos (por ejemplo, los axiomas de Hilbert), de modo que podemos derivar teorema de Pitágoras no. Una prueba formal con estos axiomática de los sistemas no requieren ninguna referencia a las imágenes, en principio.
Demostrando Pytagorean Teorema de contexto completamente diferente, tales como la geometría analítica (o"cálculo") podría ser posiblemente trivial o sin sentido dependiendo de qué definición de "ángulo recto" vamos a considerar. Por ejemplo, sería trivial si se define un ángulo recto con el producto escalar y la distancia con $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$, pero podrías intentar con diferentes y la prueba del teorema podría conseguir más y más complicada, dependiendo de la definición que desea tomar (que usted podría desear para definir las zonas con Peano de Jordania medir , por ejemplo).