Supongamos un cuadrado inscrito en un círculo. Gíralo por $45^\circ$ y superponerlo al cuadrado original. Gire por $22.5^\circ$ la forma resultante, similar a una estrella, y superponerla a la forma anterior. Continúa así, cada vez la rotación es la mitad de la anterior y superponla a la última forma creada. El área de las formas resultantes converge al área del círculo. Suponiendo el círculo de radio 1 (el área es $\pi$ ), la secuencia para calcular el área de la forma resultante puede derivarse como sigue: $$2^{n-1}[1-\tan(\pi /4-\pi /2^n)]$$ Esto converge a $\pi$ , como $n \to \infty$ , "basado" en el proceso geométrico descrito. ¿Cómo se demuestra esto por medios analíticos? Una nota al margen - se puede empezar con cualquier polígono regular y desarrollar una ecuación similar que converja a $\pi$ de una manera ligeramente diferente. También es interesante que el perímetro de las formas no se convierta en el esperado $2\pi$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El límite de la función $$f(x) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1-\tan(\pi/4-\pi 2^{-x})}{2^{-x}}$$
como $x\to\infty$ tiene "forma indeterminada" de $0/0$ y por eso el de L'Hopital funciona bien. Sustituir $2^{-x}$ con $a(x)$ para mayor comodidad, y tenga en cuenta $a(x)\to 0$ .
$$\,\, \dfrac{1}{2}\lim_{x\to\infty} \dfrac{1-\tan(\pi/4-\pi a(x))}{a(x)} =\,\, \dfrac{1}{2}\lim_{x\to\infty} \dfrac{-\sec^2(\pi/4-\pi a(x))\cdot (-\pi a'(x))}{a'(x)}$$
$$=\dfrac{1}{2}\lim_{x\to\infty} -\sec^2(\pi/4-\pi a(x))\cdot (-\pi) = \dfrac{\pi}{2}\sec^2(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\pi}{2}\cdot 2$$
y por supuesto... si $f(x)\to L, f(n)\to L$ .
Utilizar la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos, y que $\tan(\pi/4)=1$ : $$1-\tan(\pi/4-\pi/2^n)=1-\frac{\tan(\pi/4)-\tan(\pi/2^n)}{1+\tan(\pi/4)\tan(\pi/2^n)}=1-\frac{1-\tan(\pi/2^n)}{1+\tan(\pi/2^n)}=\frac{2\tan(\pi/2^n)}{1+\tan(\pi/2^n)}$$
Entonces utiliza el hecho de que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=1$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n-1}[1-\tan(\pi/4-\pi/2^n)]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\tan(\pi/2^n)}{1+\tan(\pi/2^n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\tan(\pi/2^n)}{\pi/2^n}\frac{\pi}{1+\tan(\pi/2^n)}=1\cdot\frac{\pi}{1+0}=\pi$$
