Es el límite de una secuencia de biholomorphisms surjective?

Question

Me preguntaba sobre el siguiente hace ya algún tiempo:

Deje $\Omega \subsetneq \mathbb C$ ser un dominio. Deje $\psi_n: \Omega \to \Omega$ ser una secuencia de biholomorphisms convergentes para algunos $\psi$ localmente uniformemente en $\Omega$.

Es $\psi$ necesariamente surjective?

Algunas observaciones:

• Tenemos $\psi_n(z) = \frac{z}{n}$ como un contraejemplo en $\Omega = \mathbb C$.

• Hay un biholomorphism $\phi$, que se asigna a $\Omega$ en la unidad de disco $\mathbb D$. Así que teniendo en cuenta $$(\phi\circ \psi_n\circ \phi^{-1}): \phi(\Omega) \to \phi(\Omega)$$ podemos reducir el caso general, para el caso de $\Omega \subset \mathbb D$ siendo limitada.

• Asumiendo $\Omega$ a ser los siguientes: Los derivados de la $\psi'_n$ $\psi_n$ también convergen localmente uniformemente a $\psi'$, por lo que $$ \begin{align} \mu(\psi(\Omega)) &= \iint_{\Omega} |J_{\psi}(z)| \; \mathrm dx\,\mathrm dy \\ &\ne \lim_{n\to \infty} \iint_{\Omega} |J_{\psi_n}(z)| \; \mathrm dx\,\mathrm dy \\ &= \lim_{n\to \infty} \iint_{\psi_n(\Omega)} \; \mathrm dx\,\mathrm dy \\ &= \mu(\Omega) \end{align} $$ es decir, $\psi$ es 'casi surjective'.

No sé cómo se puede proceder a partir de aquí (espero no haber cometido un error en mi obeservations).

Me interesaría ver una respuesta a esta pregunta. =)

Answer 1

No. Considere la posibilidad de $$\psi_n(z)=\frac{z-(1-1/n)}{1-(1-1/n)z}.$$ A continuación, cada una de las $\psi_n$ es un biholomorphism de la unidad de disco $\mathbb{D}$ sobre sí mismo, sino $\psi_n$ converge localmente uniformemente en $\mathbb{D}$ a la función $\psi(z)\equiv -1$. De hecho, si $|z|\leq r$, luego

$$\left|\frac{z-(1-1/n)}{1-(1-1/n)z} - (-1) \right| = \left|\frac{(1/n)(1+z)}{1-(1-1/n)z}\right| $$

$$\leq (1/n)\left|\frac{2}{1-(1-1/n)r} \right|$$ que tiende a cero, como se $n \rightarrow \infty$.