¿Cuál es la razón por la norma propiedades se definen de la forma en que están?

Question

Supongamos que tenemos un complejo espacio vectorial $V$.

Una norma es una función de $f : V \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface

(i) $f(x) \ge 0$ todos los $x \in V$ (Positividad de No Negatividad)

(ii) $f(x + y) \le f(x) + f(y)$ todos los $x, y \in V$ (Subadditivity - Desigualdad de Triángulo)

(iii) $f(\lambda x) = |\lambda|f(x)$ todos los $\lambda \in \mathbb{C}$ $x \in V$ (Positiva Homogeneidad)

(iv) $f(x) = 0$ si y sólo si $x = 0$ (Definición)

A partir de estas propiedades, podemos definir el $l_p-norm$

$$ ||x||_p = \left(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_i|^p \right)^\frac{1}{p}$$

Mis preguntas se refieren a ¿por qué estas cuatro propiedades fueron elegidos para esta definición:

(1) Si la norma es sólo una medida, ¿por qué necesitamos todas estas cuatro propiedades?

(2) ¿estas propiedades permiten una buena interpretación geométrica de las normas?

(3) Fueron estas propiedades elegido a bien permitir la anidación de las diferentes normas? Por ejemplo

$$ ||x||_\infty \le ||x||_2 \le ||x||_1$$

(4) Fueron estas propiedades elegido para satisfacer a los pares de las desigualdades? Por ejemplo $$ ||x||_1 \le n||x||_\infty$$

(5) Fueron estas propiedades elegido porque se prestan en otras variantes? Por ejemplo, en $l_2$ bi-secuencias infinitas, el vector de valores de las secuencias o general de las secuencias.

(6) ¿estas propiedades permiten una extensión en otros espacios de funciones donde todos los elementos anteriores todavía? Por ejemplo, $L_2$ o $L_p$ espacios de funciones.

No he mirado las normas en bastante tiempo, así que por favor me perdone si me estoy perdiendo algo muy obvio.

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Answer 1

La intuición detrás de la definición de la norma es que la norma de un vector es una manera de medir la longitud del vector. A continuación, la definición queda claro:

• La longitud debe ser no negativo.
• En un triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros lados (donde esta el nombre de triángulo de la desigualdad proviene).
• Si nos estiramos un vector, es decir, si se multiplica por un número $\lambda$, la longitud debe ser multiplicado por el $|\lambda|$.
• El único vector con longitud de $0$ debe ser el vector cero.

Por otra parte, en una normativa espacio puede definir una distancia como la de $$ d(x,y)=\|x-y\|. $$ Esto le da al espacio una estructura de métrica (y por lo tanto topológico) de espacio, permitiendo la definición de abiertos y conjuntos cerrados, límites,...

Hay muchos normativa espacios utilizados a lo largo de las matemáticas:

• $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$.
• El espacio de funciones continuas $f\colon K\to\mathbb{C}$ donde $K$ es un topológicos compactos espacio con el uniforme de la norma.
• El $L^p$ $\ell^p$ espacios, $1\le p\le\infty$.
• Espacios de Sobolev.
• ...

Answer 2

Una posible motivación para tres de las cuatro propiedades que comienza con la idea de que $\Vert x\Vert$ debe ser la distancia entre los puntos de $0$$x$, o lo que es equivalente, la longitud del vector $x$. Ahora el vector desde el punto de $x$ hasta el punto de $y$$y-x$, lo $\Vert y-x\Vert$ debe ser la distancia entre esos dos puntos. Esto significa que la función de $x,y\mapsto\Vert y-x\Vert$ debe ser una métrica en el espacio vectorial. Para poder satisfacer los axiomas de una métrica, usted necesita las propiedades 1, 2, y 4 en su lista.