Un producto trigonométrico

Question

Tengo que demostrarlo:

$$\prod_{i=1}^6 \left(2\cos\left(\frac{2^{i}\pi}{13}\right)-1\right)=1$$

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Realmente no tengo ni idea de empezar con esto. Con la ayuda de Wolfram Alpha, me di cuenta de que:

$$\left(2\cos\left(\frac{2\pi}{13}\right)-1\right)\left(2\cos\left(\frac{8\pi}{13}\right)-1\right)\left(2\cos\left(\frac{32\pi}{13}\right)-1\right)=1$$

y

$$\left(2\cos\left(\frac{4\pi}{13}\right)-1\right)\left(2\cos\left(\frac{16\pi}{13}\right)-1\right)\left(2\cos\left(\frac{64\pi}{13}\right)-1\right)=1$$

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Pista: Existe una identidad de la forma $\cos 3 \alpha = \cos \alpha \cdot (2 \cos 2 \alpha - 1)$ . Multiplícalo por $\alpha$ atraviesa $2^k \pi/13$ con $0 \leq k < 6$ . Utilizando las propiedades estándar de $\cos \alpha$ podrá anular las cláusulas redundantes.

Answer 2

Usted tiene $\cos 3\alpha=\cos \alpha(2\cos 2\alpha-1)$

También ha

$\cos \frac{32\pi}{13}=\cos \frac{6\pi}{13}$

$\cos \frac{64\pi}{13}=\cos \frac{12\pi}{13}$

$\cos \frac{16\pi}{13}=\cos \frac{10\pi}{13}$

Así que al final tienes

$\prod_{i=1}^6 \left(2\cos\left(\frac{2^{i}\pi}{13}\right)-1\right)=\prod_{i=1}^6 \dfrac{\cos \frac{3i\pi}{13}}{\cos \frac{i\pi}{13}}$

Y todos los términos se cancelan sin problemas (los primeros muy fácilmente).