¿Cómo puedo probar que $S^n$ es homeomórficos a $S^m \Rightarrow m=n$?

Question

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Suponga $S^n$ es homeomórficos a $S^m$. También, suponga $m≠n$. Por lo tanto, vamos a $m>n$.

A partir de aquí no estoy seguro de lo que está implícito. Por supuesto, en este problema $S^k$ se define como:

$S^k=\lbrace (x_0,x_1,⋯,x_{k+1}):x_0^2+x_1^2+⋯+x_{k+1}^2=1 \rbrace$ con topología de subespacio.

Answer 1

Sugerencia: mira el tema de la Invariancia de Dominio

Answer 2

Un no-elemental argumento sería que los espacios con los no-idéntico homotopy grupos no son homeomórficos.

Suponga $n < m$. A continuación, $\pi_n (S^n) = \mathbb Z$ (ver este artículo) sino $\pi_n(S^m) = 0$. Por lo tanto $S^n$ $S^m$ no homeomórficos si $n \neq m$.

Alternativamente, como se señaló en los comentarios, puede utilizar la homología de grupos: $H_n(S^n) = \mathbb Z$ pero $H_n(S^m) = 0$. Pero homeomórficos espacios isomorfos homología de grupos.