Algunos de ecuaciones con números complejos

Question

Dado $a,b \in \mathbb{C}$ tal que $a^2+b^2=1$, está claro que $x:=a\bar{a}+b\bar{b}$ es un número real y que $yi:=a\bar{b}-\bar{a}b$ es imaginario (i.e $y$ es real). Por otra parte, un cálculo directo muestra que $x,y$ satisfacer $x^2-y^2=1$.

Ahora, la pregunta es si el converso tiene así. Es decir, dado $x,y\in \mathbb {R}$ tal que $x^2-y^2=1$ hay $a,b\in \mathbb{C}$ $a^2+b^2=1$ que $x=a\bar{a}+b\bar{b}$$yi=a\bar{b}-\bar{a}b$?

Por desgracia, la motivación para esto es un poco difícil de explicar, así que no voy a intentar.

Answer 1

Los números de $x,y$ necesidad de satisfacer $x\geq1$, $y^2=x^2-1$.

Tenga en cuenta que $$ x-y=|a|^2+b^2-\frac{a\bar{b}-\bar{a}b}i=||a^2+b^2+i (\bar{b}-\bar{a}b)=|a-ib|^2. $$ Del mismo modo, $$ x+y=|a+ib|^2. $$ Si $a+ib$ $a-ib$ son reales (que no tienen, en principio, pero vamos a suponer; vamos a elegir la ha $a$ real y $b$ imaginario), entonces tendríamos $$ a=\frac{\sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}}2,\ \ b=\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x, y}}{2i}. $$ Es fácil comprobar que $a^2+b^2=1$, $|a|^2+|b|^2=x$, $-i(a\bar{b}-\bar{a}b)=y$.

Answer 2

Sin duda deben asumir $x\ge0$ (lo que implica entonces $x\ge1$), ya que desea $x=|a|^2+|b|^2$, lo cual siempre es $\ge 0$. Una vez que tienes eso, usted puede conseguir su $a$ $b$ con la idea de que $a=\cos w$ $b=\sin w$ con $w=u+iv\in\mathbb{C}$. Un poco de cálculo, a continuación, muestra $x=\cosh 2v$$y=-\sinh 2v$. (Creo que tengo el signo a la derecha, pero lo mejor es que consultes...) Así que elige $v=-\frac12\sinh^{-1} y$, elija cualquier $u\in \mathbb{R}$, y, a continuación, $a=\cos w$ $b=\sin w$ $w=u+iv$ va a hacer. La elección particular $u=0$ da $a=\cos( \frac{i}2\sinh^{-1} y) = \cosh(\frac12\sinh^{-1}y)$$b=-\sin(\frac{i}2\sinh^{-1} y) = -i\sinh(\frac12 \sinh^{-1} y)$. (Estos, sin duda, puede ser simplificado.)