Minimizar $\int_0^1|f'(t)|^2dt$$f(0)=0$$f(1)=1$.

Question

Digamos que usted desea reducir al mínimo $$ \int_0^1 \!|f'(t)|^2 \,dt, $$ sujeto a $f(0)=0$$f(1)=1$, entre infinitamente funciones diferenciables. Esto es incluso posible? Mi conjetura es la minimización de la función $f(x)=x$.

Mi línea de pensamiento...

Una función de $f$ minimiza $\int_0^1|f'(t)|^2\,dt$ fib minimiza $\int_0^1 (1+|f'(t)|^2)\, dt$, iff minimiza $\int_0^1\sqrt{1+|f'(t)|^2}\,dt$. Desde esta última expresión es la fórmula de longitud de arco, la pregunta es equivalente a encontrar el más corto de la función continua de$(0,0)$$(1,1)$, sólo $f(x)=x$, y esta es la única función que minimiza la integral.

Es esta línea de razonamiento de sonido? Tal vez se me pasa por alto algunos sutileza.

Answer 1

Equivalentemente, que usted está buscando una función suave $g$ tal que $\int_0^1 g(t)\,dt=1$ que $\int_0^1 g(t)^2\,dt$ es mínima en esta clase de funciones (que, a continuación, $f$ es la primitiva de la función de $g$ s.t. $f(0)=0$). Escrito $g(t)=1+h(t)$, y donde ahora se $\int_0^1 h(t)\,dt=0$, se desea minimizar $\int_0^1(1+h(t))^2dt=\int_0^1(1+2h(t)+h(t)^2)dt=1+\int h(t)^2\,dt$, y no es claramente la única mínimo de $h=0$. Así que tenemos $g(t)=1$$f(t)=t$.

Answer 2

Alternativamente, usted puede aplicar la integral de Cauchy-Schwarz

que es $\int_0^1 h^2(x)dx\cdot\int_0^1 g^2(x)dx\ge \left(\int_0^1 h(x)g(x)dx\right)^2$ $h(x)=f'(x)$ $g(x)=1$ para obtener $$\int_0^1 f'^2(x)dx\cdot\int_0^1 1 dx\ge \left(\int_0^1 f'(x)dx\right)^2=(f(1)-f(0))^2=1.$$ La igualdad tiene al $f'(x)=const$ en casi todas partes, los cuales, junto con las condiciones de contorno implica que $f(x)=x.$

Answer 3

Usted puede intentar el cálculo de la variación. Ver Euler–Lagrange ecuación.

Answer 4

Siguiente Mhenni et al.'s sugerencia: El de Euler-Lagrange las ecuaciones decir que para un funcionamiento $F(x, y, y')$ que se reduce al mínimo, la ecuación

$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}) = 0$

debe ser satisfecho. Para $F = |y'|^2$, para el positivo y tenemos:

$\frac{d}{dx}(2y') = 0 \implies y' = C_1 \implies y = C_1x + C_2$.

Las condiciones de $y(0) = 0$ $y(1) = 1$ dar la solución a $y = x$.