Mostrando que la intersección de dos subgrupos del índice 2 es normal del índice 4

Question

He intentado sin éxito hacer lo siguiente:

"Supongamos que $H$ y $K$ son subgrupos distintos de $G$ del índice $2$ . Demuestra que $H \cap K$ es un subgrupo normal de $G$ del índice $4$ y que $G/(H \cap K)$ no es cíclico"

Tengo la sugerencia de usar el Teorema del Segundo Isomorfismo: Si $K$ es un subgrupo de $G$ y $N$ es un subgrupo normal de $G$ probar que $K/(K \cap N)$ es isomorfo a $KN/N$ .

Desde $|G:H|=|G:K|=2$ , $H$ y $K$ son normales en G. Ya que la intersección de dos subgrupos normales es de nuevo normal, $H \cap K$ es normal. Para el índice $4$ En parte, intenté usar el hecho de que las órdenes de $K/(K \cap N)$ y $KN/N$ son iguales, conectando $|H|= \dfrac {|G|}{2}$ y $|K|= \dfrac {|G|}{2}$ pero no pude obtener nada útil.

Abandoné el S.I.T. y traté de jugar con los índices, ya que $|G:(H \cap K)|=|G:K||K:(H \cap K)|$ . Desafortunadamente, esto tampoco me llevó a ninguna parte.

Apreciaría una pista sobre cómo mostrar esto. Gracias.

Answer 1

Para una prueba que no utilice el segundo teorema de isomorfismo, dejemos $ \pi\colon G \to C$ con el núcleo $H$ y $C$ cíclico de orden dos. De manera similar, dejemos $ \pi ' \colon G \to C'$ con el núcleo $K$ y $C'$ cíclico de orden dos. Ahora define $ \Pi\colon G \to C \times C'$ por $g \mapsto ( \pi (g), \pi '(g))$ . Claramente un homomorfismo, claramente sobre ya que hay elementos de $H$ no en $K$ y viceversa. Ahora lo único que hay que hacer es comprobar que $ \ker ( \Pi )=H \cap K$ y esto es casi inmediato.

Answer 2

Desde $H$ y $K$ son subgrupos distintos del índice 2, existe $x \in K - H$ . Desde $H$ tiene índice $2$ debemos tener $G=H \cup x H$ y esto implica que $G=HK=KH$ . Por lo tanto $2=(G:K)=(HK:K)=(H:H \cap K)$ . Esto prueba que $(G:H \cap K)=4$ .