Qué $\infty$ media $+\infty$ en "inglés matemáticas"

Question

Mi pregunta de fondo es el conjunto $\mathbb R$.

A menudo veo el símbolo $\infty$. No siempre significan $+\infty$ o puede tiene el sentido de $\pm \infty$? En particular, lo que significa que una verdadera secuencia $(a_n)$ $\infty$ para el límite? Que ha $+\infty$ para el límite? O que la secuencia de $(\vert a_n \vert)$ $+\infty$ para el límite?

Soy francés y no solemos utilizar $\infty$ sin un signo en el contexto de los números reales.

Answer 1

En el contexto de los números reales es relativamente segura hipótesis de que un autor escrito que una secuencia $(x_n)$ tiende a $\infty$ significa que por cada $M>0$ hay un $n_0$ tal que $x_n \ge M$$n \ge n_0$, y no $|x_n| \ge M$$n \ge n_0$. Si éste se entiende por lo general se indica.

En el contexto de los números complejos por supuesto va a ser diferente.

Answer 2

Si usted escribe $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$ $x$ se entiende para ser real, entonces significa $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$ menos que haya algún contexto diciendo que esto significa algo más. Si usted escribe $\lim\limits_{z\to\infty} f(z)$ donde $f$ es un complejo de valores de la función de un complejo, más que reales, la variable $z$, entonces significa ni $+\infty$ ni $\pm\infty$. Sino que esencialmente significa que el límite como el valor absoluto $|z|$ enfoques $+\infty$. En otras palabras $\text{"} \lim \limits_{z\to\infty} f(z) = c\text{''}$ donde $c$ es algún número complejo significa $f(z)$ puede hacerse tan cerca como se desee a $c$ hacer $|z|$ lo suficientemente grande. O más precisamente: $$\forall \varepsilon>0\ \exists R>0\ \forall z\in\mathbb C\ [\text{if } |z|>r \text{ then } |f(z)-c|<\varepsilon].$$

A veces uno escribe $\lim\limits_{x\uparrow\pi/2} \tan x = \infty$ o $\lim\limits_{x\uparrow\pi/2} \tan x = +\infty$$\lim\limits_{x\downarrow\pi/2} \tan x = -\infty$, pero creo que tiene sentido escribir $\lim\limits_{x\to\pi/2} \tan x = \infty$ donde $\text{"}\infty\text{''}$ significa que el infinito que está en ambos extremos de la línea y se acercó al ir en cualquier dirección. Que hace la función de tangente continua en todas partes en $\mathbb R$. Pero me gustaría acompañar esto con una explicación de la intención de significado.