Infinito de la plaza así que de repente disminuye de tamaño

Question

Un bien conocido en el ejercicio básico de la mecánica cuántica es la súbita (diabatic) aumento de la longitud de un infinito plaza de bien.

Ahora considere una partícula en un eigenstate de un bien infinito que es, de repente, la disminución en la longitud. A primera vista, esto parece problemático desde el eigenstate de la inicial bien no se puede ampliar en los estados propios de los más pequeños.

Así que lo pensé renormalizing la inicial eigenstate dentro de los más pequeños antes de calcular la superposición. Esto es lo que tengo hasta el momento:

Si la partícula inicialmente en el estado fundamental de un infinito bien de $0$ tot $2a$, normaliza la función de onda en un pequeño pozo de $0$ $a$es \begin{equation} \phi_1 = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{\pi x}{2a}. \end{equation} Los autoestados de los más pequeños son \begin{equation} \psi_n = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}, \end{equation} y así la superposición es \begin{equation} c_n = \frac{2}{a} \int_0^a dx \sin \frac{\pi x}{2a} \sin \frac{n\pi x}{a} = (-1)^n \frac{8n}{\pi\left(1-4n^2\right)} \end{equation} Ahora el problema es que la expectativa de valor de la energía que se aleja, \begin{equation} \left< E \right> = \sum_n \left|c_n\right|^2 E_n = \frac{32 \hbar^2}{ma^2} \sum_n \frac{n^4}{\left(1-4n^2\right)^2}. \end{equation}

Esto es debido a que la función de onda es discontinua en a$x=a$, por lo que la primera derivada contiene un término proporcional a $\delta(x-a)$.

Así que llegué a la conclusión de que este método no es satisfactoria, ya que los rendimientos no-física de los resultados.

¿Hay alguna solución o es el problema mal definido? El límite adiabático es, sin duda bien definidos.

EDITAR

Siguientes Kevin Zhou de la propuesta, he considerado que este sistema, en lugar

Para $E<V_0$, las soluciones están dadas por \begin{align} \psi_1(x) & = \sin kx \\ \psi_2(x) & = \frac{\sin ka}{\sinh \lambda a} \sinh \lambda(2a-x), \end{align} con $k=\sqrt{2mE}/\hbar$$\lambda=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$. Y el espectro se encuentra desde \begin{equation} \lambda \tan ka = -k \tanh \lambda a, \end{equation} que tiene que ser resuelto numéricamente. Para $E>V_0$ nosotros simplemente vamos a $\lambda \rightarrow iq$$q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$.

Answer 1

Yo diría que el no adiabático problema está mal definida. Vamos a ver.

Todas las soluciones iniciales $\Psi_n(x) = A_n \sin(n \pi x / 2a)$ tienen una probabilidad actual $\Psi'^* \Psi - \Psi^* \Psi'$ igual a cero en todas partes, por lo que en principio puede cortar en cualquier punto sin tener una fuga de probabilidad. El problema es que las condiciones de frontera para el dominio de cualquier hamiltoniana de cualquier auto-adjunto del operador debe ser único, compatible con la linealidad.

Dependiendo $n$, la central de corte $(a/2,3a/2)$ de la original eigenfunction va a 4 diferentes hamiltonianos:

$n \mod 4 = 1 \to$ $\Psi(a/2)=\Psi'(a/2), \Psi(3a/2)=-\Psi'(3a/2)$

$n \mod 4 = 2 \to$ $\Psi'(\frac a2)=0, \Psi'(\frac{3a}2)=0$

$n \mod 4 = 3 \to$ $\Psi(\frac a2)=-\Psi'(\frac a2), \Psi(\frac{3a}2)=\Psi'(\frac{3a}2)$

$n \mod 4 = 0 \to$ $\Psi(\frac a2)=0, \Psi(\frac{3a}2)=0$

El corte a $(0,a)$ va para dos diferentes hamiltonianos

$n \mod 2 = 1 \to \Psi(0)=0, \Psi'(a)=0$

$n \mod 2 = 0 \to$ $ \Psi(0)=0, \Psi(a)=0$

que es más sencillo, pero es el mismo problema: las funciones propias de un hamiltoniano están fuera del alcance de los otros. Este debe ser el origen de la infinidad que se obtiene cuando a través de la adición de todas las proyecciones para obtener una expectativa de valor, realmente la discontinuidad en la frontera es matemáticamente irrelevante, porque se están integrando en $L^2(0,a)$; usted debe obtener un resultado finito si se superponen y agregar contra el conjunto de funciones en el mismo dominio, es decir, con las mismas condiciones de contorno.

Se podría tener sentido para afirmar que usted puede deshacerse de la mitad del espectro, porque también es lo que estamos haciendo en la posición del espacio: estamos destrozando todos los autovalores $|\delta_x>$ $x$ mayor que $a$. Pero lo mismo está ocurriendo con la central de la corte, y no estamos obligados a la basura tres de cada cuatro valores de la energía. Así que el argumento no parece muy fuerte.

Answer 2

La sugerencia de Kevin Zhou, por otro lado, tiene la ventaja de que se podría tratar de controlar todos los polos de la original y bien, a la mitad de uno. El polology de la plaza también se ha estudiado en Nussenzveig "Los polos de la S-matrix de una forma rectangular potencial de bien o de la barrera" Física Nuclear, 11:409-521, 1959. y de nuevo en su libro "la Causalidad y la Dispersión de las Relaciones". Algunos detalles en español puede ser deducido a partir del capítulo 3.2 de mi tesis, pero el artículo de B. Belchev, S. G. Neale y M. A. Walton hace una información más completa, y yo no incluyen las parcelas de mi documento.

Una mitad del horno idea de explotar aquí es que a medida que reducimos la forma potencial $2a$ $a$no eigenstate es realmente perdido. Lo que ocurre en la matriz de dispersión es que el polo correspondiente mueve a lo largo del eje imaginario $ik$ hasta que choca con otro polo viniendo de un puro "anti-dependiente" del estado ('Gamow vectores", o estados discretos inserta en el continuo E>0 parte del espectro, si recuerdo correctamente) y, a continuación, los dos polos dejar simétricamente al eje imaginario que va a ser resonancias en el plano complejo (algunos autores -me - también llamada de las resonancias de la "anti-dependiente" de los estados). Se puede ver en la fig 5 de BNW artículo.

Así se podría tener sentido para analizar el problema reducido a la mitad como una función no sólo de los autovalores $E_n$ a la izquierda, pero también de las resonancias que se filtró en el plano complejo. Y combinar el proceso de reducir a la mitad el potencial con el aumento de $V_0$.