Me gustaría investigar si un análogo de la clásica de la Unión teorema vale para vagos convergencia de medidas de Radón.
Aquí están las definiciones que estoy usando.
Deje $X$ ser un Hausdorff localmente compacto espacio topológico, y deje $\mathcal{B}(X)$ ser su Borel $\sigma$-álgebra. Una medida positiva $\mu$ $(X, \mathcal{B}(X))$ se dice que es una medida de Radón si : (i) $\mu(K) < \infty$ para todos los subconjuntos compactos $K \subset X$, (ii) $\mu(O) = \sup \, \{\mu(K) \, / \, K \subset O, K \rm{\: is \: compact \:} \}$ para abrir todos los subconjuntos de a $O \subset X$, y (iii) $\mu(A) = \inf \, \{ \mu(O) \, / \, A \subset O, O \rm{\: is \: open \:} \}$ por cada subconjunto de Borel $A \subset X$.
He de decir que una secuencia $(\mu_n)_n$ de Radón medidas en $X$ converge vagamente a una medida de Radón $\mu$ si $\lim_{n \to \infty} \int_X f \, d \mu_n = \int_X f \, d \mu$ todos los $f \in C_c(X)$ donde $C_c(X)$ denota el conjunto de todos los continuo con un valor real de las funciones definidas en $X$, con un tamaño compacto.
Ahora, considere las siguientes proposiciones :
$(P_1)$ $(\mu_n)_n$ converge vagamente a $\mu$;
$(P_2)$ $\mu(O) \le \underline{ \lim } \, \mu_n(O)$ para abrir todos los subconjuntos de a $O \subset X$;
$(P_3)$ $\mu(K) \ge \overline{ \lim } \, \mu_n(K)$ para todos los subconjuntos compactos $K \subset X$;
$(P_4)$ $\mu(A) = \lim \, \mu_n(A)$ para todos los subconjuntos de Borel $A \subset X$ con un compacto de cierre, y de satisfacciones $\mu(\partial A) = 0$.
Soy capaz de demostrar que $(P_1) \Leftrightarrow ((P_2) + (P_3)) \Rightarrow (P_4)$.
Mis preguntas son :
1) $(P_2)$ $(P_3)$ equivalente en todos los casos ? Si $X$ es compacto, esto es obvio tomando series complementarias.
2) se Puede probar que $(P_4) \Rightarrow (P_1)$ ? He conseguido demostrar que $(P_3) + (P_4) \Rightarrow (P_1)$. (de hecho, en lugar de $(P_3)$, sólo necesito que $\sup_n \mu_n(K) < \infty$ para todos los subconjuntos compactos $K \subset X$)
Gracias.
