Extraño aproximación de $\pi$?

Question

Yo estaba jugando con mi calculadora Casio fx-991MS) el otro día.
Yo de entrada de $$\arcsin(\sin(2))$$
El resultado salió como $$1.141592653\ldots$$
Inmediatamente me di cuenta de que las cifras parecen asemejarse a $\pi$.
Así que, me decidí a investigar más a fondo.
Yo de entrada de $$\arcsin(\sin(2))+2-\pi$$
Yo estaba esperando algún número pequeño para que salga, pero en lugar de eso me metí $0$.
Sé que mi calculadora tiene precisión sólo hasta $10$ dígitos.
Así que, naturalmente, he decidido poner el número en otro (albiet mayor precisión) de la calculadora. Esta vez,
Tengo un número en el rango de $10^{-19}$.
También me puso a través de WA que, sorprendentemente, dio a $0$ como respuesta.
Por último,os pongo el resultado en una línea de ultra alta precisión de la calculadora.
Era aún más loco.
Tengo una mente bogglingly pequeño número en el rango de $10^{-600}$
Mi pregunta es, ¿qué diablos está pasando aquí!?

Answer 1

La identidad $$\sin(\pi-x)=\sin x$$ holds for all $x$, in particular for $x=2$. And 2 radians is an angle between $\pi/2$ and $\pi$, so when you take the arcsine you get back the angle between $0$ and $\pi/2$ which has the same sine, in other words $\pi-2$.

Answer 2

$\arcsin(x)$ es una inversa de a $\sin(x)$ en el rango $[-\pi/2,\pi/2]$. Para evaluar $\arcsin(\sin(2))$, podemos utilizar simetrías de $\sin$ a conseguir en este rango:

$$\sin(x)=\sin(\pi-x)\implies\arcsin(\sin(2))=\arcsin(\sin(\pi-2))$$

Y desde $\pi-2$ está en este rango (desde $\pi>4/3$$\pi<4$), obtenemos

$$\arcsin(\sin(2))=\arcsin(\sin(\pi-2))=\pi-2.$$