Dejemos que $G$ sea un grupo de 2 no abeliano de orden mayor o igual a 32 y $|Z(G)|=4$ . ¿El grupo $G$ tiene un subgrupo abeliano $H$ , de tal manera que $16 \leq |H| \leq |G|/2$ ?
Dejemos que $G$ sea un grupo de orden mayor o igual a $128$ con $\vert Z(G)\vert=4$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\vert G\vert =128$ . Establecer $Z=Z(G)$ . Si $G/Z$ tiene un elemento de orden $4$ entonces tiene un subgrupo cíclico de orden $4$ y esto corresponde a un subgrupo abeliano de $G$ de orden $16$ . Así como @TobiasKildetoft señaló, $G/Z$ es un abeliano elemental $2$ -grupo, digamos
$G/Z=\langle a_{1}Z\rangle\times\langle a_{2}Z\rangle\times\langle a_{3}Z\rangle\times\langle a_{4}Z\rangle\times\langle a_{5}Z\rangle$ .
para algunos $a_{1},\ldots,a_{5}\in G\setminus Z$ . Si $[a_{i},a_{j}]=1$ para $i\neq j$ entonces hemos terminado como podemos tomar $H=\langle a_{i},a_{j},Z\rangle$ . Así que supongamos que no. Entonces existe $i\neq j\in \{2,3,4,5\}$ tal que $[a_{1},a_{i}]=[a_{1},a_{j}]$ . Equivalentemente $[a_{j}a_{i}^{-1},a_{1}]=1$ . Entonces, tomando $H=\langle a_{1},a_{j}a_{i}^{-1},Z\rangle$ le da un grupo abeliano de orden $16$ .
Se puede hacer valer fácilmente ese argumento para $|G|=64$ . Si $[a_1,a_2]$ , $[a_1,a_3]$ , $[a_1,a_4]$ son todos diferentes, entonces $[a_1,a_4]=[a_1,a_2a_3]$ Así que $[a_1,a_2a_3a_4]=1$ .
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También me interesaría saber cómo se empieza a abordar este problema.
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Creo que los elementos centrales podrían ser útiles, pero no estoy seguro.
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Un gran problema. ¿Puedo saber de dónde lo has sacado? :P
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Se me ocurrió cuando leí algunas propiedades de los grupos de orden 16 y 32. La respuesta a la pregunta es positiva para los grupos de orden 32.
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@deibor: ¡Gracias! Sólo tenía curiosidad, eso es todo :)
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¿Cómo es que has empezado por 16 en lugar de 8?
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@kevin: Te refieres al límite de $H$ ? En el problema anterior, hay que tener en cuenta que 16=32/2. También existe siempre un subgrupo abeliano de orden 8, a saber, un subgrupo de $\langle x, Z(G) \rangle$ , donde $x \in G \setminus Z(G)$ .
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No estoy muy seguro de por qué tiene el requisito de que $|H|\leq |G|/2$ ya que si tiene una de algún orden, también tiene de todos los órdenes menores. De todos modos, podemos suponer claramente que para todo $x\in G$ , $x^2\in Z(G)$ Así que $\Phi(G) \leq Z(G)$ et $G'\leq Z(G)$ .
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No sé cómo "asume claramente que para todos $x\in G, x^2 \in Z(G)$ "?. ¿Puedes explicarme por qué? Observa que en el grupo (de orden 32) $\mathbb{Z}_2 \times D_16$ hay un elemento $y$ tal que $y^2 \notin Z(G)$ .
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Si $x^2$ no está en $Z(G)$ entonces $\left< x,Z(G)\right>$ tiene un orden de al menos $16$ y hemos terminado.
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Vas por el método de la contradicción. Gracias, ahora lo he entendido. Pero ¿qué pasa si queremos demostrar que $|H|=|G|/2$ ?
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Dudo que tener centro de orden $4$ implicará en general la existencia de un subgrupo abeliano cuyo orden es la mitad del del grupo, pero no he comprobado ejemplos.
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Yo también dudé. Con su suposición, noto que el grupo $G/Z(G)$ es un grupo abeliano elemental de 2. Por cierto, muchas gracias.
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No existe necesariamente una $H$ con $|H|=|G|/2$ . Hay muchos contraejemplos de orden 64 con centros de orden 4, y ningún subgrupo abeliano de orden 32.