¿Por qué los personajes en un subgrupo de extender a todo el grupo?

Question

Como telón de fondo, estoy tratando de hacer ejercicio 3.10 en Deitmar "Principios de Análisis Armónico." Puedo hacer la mayor parte del problema, pero estoy atascado en la tercera parte demostrando surjectivity.

Dado un localmente compacto grupo abelian $G,$ cerrado subgrupo $H,$ y un carácter $\chi: H \rightarrow S^1,$ necesito para construir una ampliación de $\chi$ a todos los de $G.$ Cualquier extensión que se va a hacer, pero no es claro para mí que uno debe ser capaz de construir una ampliación. Por ejemplo, no podemos definir una extensión de 1 fuera de $H,$ ya que los elementos fuera de $H$ puede multiplicar a algo dentro de $H.$

Alguien me puede ayudar? Gracias!

Answer 1

Podemos utilizar los siguientes resultados, de Rudin del libro Análisis de Fourier en Grupos.

Denotar $$A(H):=\{\gamma\in\widehat G,\forall h\in H,\gamma(h)=0\}$$ el aniquilador de $H$. Es un subgrupo cerrado de $\widehat G$, lo que nos asegura que $\widehat G/A(H)$ es de Hausdorff localmente compacto.

Teorema 2.1.2. $A(H)$ es isomorphically homeomórficos a la doble grupo de $G/H$, e $\widehat G/A(H)$ es isomorphically homeomórficos a la doble grupo de $H$.

Croquis de la prueba: Vamos a $\pi$ la proyección de $\pi\colon G\to G/H$. Definimos un uno-a-uno la correspondencia entre el $A(H)$ $\widehat{\left(\frac GH\right)}$ por $$\gamma(x):=\phi(\pi(x)).$$ Además, es compatible con la estructura de grupo.

Por Pontryagin teorema de la dualidad, y usando el hecho de que para $x_0\notin H$ podemos encontrar $\gamma\in \widehat G$ tal que $\gamma(x_0)\neq 1$, podemos deducir que la segunda afirmación. Para mostrar que es un homeomorphism, podemos utilizar el hecho de que la proyección es continua y abierta.