Pruebas de periodicidad de Bott

Question

K-teoría se encuentra en una intersección de un montón de diferentes campos, que se ha traducido en una gran variedad de técnicas de prueba para sus resultados básicos. Por ejemplo, he aquí una dispersión de las pruebas de la periodicidad de Bott teorema de topológico complejo K-teoría que he encontrado en la literatura:

• Bott original de prueba utilizado Morse teoría, que reapareció en Milnor del libro de la Teoría de Morse en un mucho menos de forma condensada.
• Pressley y Segal logrado producir el homotopy inversa de la habitual Bott mapa como un corolario en su libro Bucle de Grupos.
• Behrens recientemente producido una nueva prueba basada en Aguilar y Prieto, que muestra que los diversos mapas son quasifibrations, por lo tanto, la inducción de la derecha mapas en homotopy y que resulta en la periodicidad de Bott.
• Snaith mostró que $BU$ is homotopy equivalent to $CP^\infty$ una vez que se adhieren a un elemento invertible. (Él y Gepner también recientemente se demostró que esto funciona en la motivic demasiado, aunque esta otra prueba se basa en el lector después de haber visto periodicidad de Bott motivic complejo K-teoría.)
• Atiyah, Bott, y Shapiro en su seminal artículo titulado Clifford Módulos producido una prueba algebraica del teorema de periodicidad. EDIT: Ups x2! Se demostró la periodicidad del grupo de Grothendieck de Clifford módulos, como cdouglas señala, a continuación, utiliza topológico periodicidad volver a conectarse con $BU$. La madera más tarde dio una discusión más general de este en álgebras de Banach y periodicidad de Bott.
• Atiyah y Bott producido una prueba utilizando métodos de primaria, que se reduce a pensar mucho sobre la matriz de la aritmética y agarrándose de las funciones. Variaciones en este se han reproducido en muchos libros, por ejemplo, Switzer de la Topología Algebraica: Homotopy y Homología.
• Una prueba del teorema de periodicidad también aparece en Atiyah el libro de K-Teoría, que hace uso de algunos hechos básicos acerca de los operadores de Fredholm. Una forma diferente de sabor prueba de que también se basa en los operadores de Fredholm aparece en Atiyah de papel de la topología Algebraica y operaciones en el espacio de Hilbert.
• Atiyah escribió un artículo titulado Bott la Periodicidad y el Índice de Elíptica Operadores que utiliza su índice teorema; esto es particularmente atractiva, ya que además especifica bastante conjunto mínimo de condiciones para un mapa a ser la inversa de la Bott mapa.
• Seminaire Cartan en el invierno del '59-'60 producido una prueba del teorema de periodicidad de usar "sólo las técnicas estándar de homotopy teoría", que no he mirado en detalle, pero sé que es todo.

Ahora, mi pregunta: las pruebas de la periodicidad teorema que hacer uso de índice de la teoría son, en cierto sentido vago apelando a la existencia de diversos Thom isomorphisms. Parece razonable esperar que se podría producir una prueba de periodicidad de Bott, que explícitamente hace uso de los hechos de que:

1. La Thom espacio de la tautológica de la línea de paquete de más de $CP^n$ is homeomorphic to $CP^{n+1}$.
2. Tomando un colimit, la Thom espacio de la tautológica de la línea de paquete de más de $CP^\infty$ (call it $L$) is homeomorphic to $CP^\infty$.
3. La Thom espacio de la diferencia bundle $(L - 1)$ over $CP^\infty$ is, stably, $\Sigma^{-2} CP^\infty$. Esto me parece una ruta a la producción de un representante de la Bott mapa. Idealmente, debería incluso tener buenas propiedades suficientes para producir otra prueba del teorema de periodicidad.

Pero no puedo encontrar nada sobre esto en la literatura. Alguna idea sobre cómo exprimir una prueba de esto -- o, mejor aún, alguna idea acerca de donde puedo encontrar a alguien que ya está hecho para exprimir?

Espero esto no es menos de eso es un disparate!

-- edit --

Dada la respuesta positiva, pero la falta de respuestas, pensé que debería ampliar la pregunta un poco para iniciar el debate. Lo que originalmente estaba buscando era una moral a prueba del teorema de periodicidad, algo corto que yo podría mostrar a alguien con un poco de conocimiento de estable homotopy como ¿por qué deberíamos esperar que el todo para ser verdad. Las pruebas etiquetados como primaria contenía demasiada álgebra de matrices para encajar en el salón de hablar, mientras que las pruebas con operadores de Fredholm no parecer -- uh -- homotopy-y suficiente. Mientras que este negocio con Thom espacios, por encima de $CP^\infty$ le pareció un buen lugar para buscar, sabía que probablemente no era el único. A la luz de Lawson respuesta, ahora estoy seguro de que no es el único lugar!

Así que: ¿alguien tiene una buena periodicidad de Bott remate, dirigido a un homotopy teórico?

(Nota: probablemente voy a reserva de la aceptación de la respuesta de la bandera para algo abordar la pregunta original.)

Answer 1

Aquí está mi intento de la dirección de Eric real de que se trate. Dado un real $n$-dimensional vector bundle $E$ on a space $X$, there is an associated Thom space that can be understood as a twisted $n$-fold suspension $\Sigma^E X$. (If $E$ is trivial then it is a usual $n$-fold suspension $\Sigma^n X$.) In particular, if $E=L$ is a complex line bundle, it is a twisted double suspension. In particular, if $X = \mathbb{C}P^\infty$, the twisted double suspension of the tautological line bundle $L$ satisface la ecuación $$\Sigma^L\mathbb{C}P^\infty = \mathbb{C}P^\infty.$$ Como yo lo entiendo, Eric quiere saber si esta periodicidad puede ser interpretado como una Bott mapa, tal vez después de algunas modificaciones y, a continuación, utilizado para comprobar la periodicidad de Bott. Lo que estoy diciendo coincide Eric pasos 1 y 2. El paso 3 es una modificación para hacer que el mapa se vea más como la periodicidad de Bott.

Creo que la respuesta es un no calificado. En la cara de ella, Eric del mapa no contener la misma información que el Bott mapa. Bott periodicidad es un teorema sobre unitaria y los grupos de clasificación de los espacios. Lo que Eric tiene en mente, como yo lo entiendo ahora, es un resultado de Snaith que construye un espectro equivalente a la Bott espectro para el complejo K-teoría mediante la modificación de $\mathbb{C}P^\infty$. Snaith del modelo ha sido llamado "Snaith periodicidad", pero el existente argumentos de que es el mismo que se uso y no una prueba de periodicidad de Bott. (En ese sentido, Snaith del modelo es la sopa de piedras, a pesar de que la metáfora no es realmente justo a su buen papel).

Para el contexto, aquí es una definición rápida de Bott hermoso mapa como Bott construido en los Anales es hermoso. En mi opinión, no es particularmente la necesidad de simplificación. El mapa se generaliza la suspensión de la relación de $\Sigma S^n = S^{n+1}$. You do not need Morse theory to define it; Morse theory is used only to prove homotopy equivalence. Bott's definition: Suppose that $M$ is a compact symmetric space with two points $p$ and $q$ that are connected by many shortest geodesics in the same homotopy class. Then the set of these geodesics is another symmetric space $M'$, and there is an obvious map $\Sigma M' \to M$ that takes the suspension points to $p$ and $q$ and interpolates linearly. For example, if $p$ and $q$ are antipodal points of a round sphere $M = S^{n+1}$, the map is $\Sigma(S^n) \to S^{n+1}$. For complex K-theory, Bott uses $M = U(2n)$, $p = q = I_{2n}$, and geodesics equivalent to the geodesic $\gamma(t) = I_n \oplus \exp(i t) I_n$, with $$\Sigma (U(2n)/U(n)^2) \to U(2n).$$ \le t \le 2\pi$. El mapa es entonces $BU(n)$. Bott show that this map is a homotopy equivalence up to degree n$. Of course, you get the nicest result if you take $n \to \infty$. Also, to complete Bott periodicity, you need a clutching function map $\Sigma(U(n)) \to BU(n)$, which exists for any compact group. (If you apply the general setup to $M = G$ for a simply connected, compact Lie group, Bott's structure theorem shows that $\pi_2(G)$ El argumento de la izquierda se aproxima a la clasificación de espacio $\mathbb{C}P^\infty = BU(1)$, and of course $\mathbb{C}P^\infty$ is a $K(\mathbb{Z},2)$ space with a totally different homotopy structure from $BU(\infty)$. Moreover, twisted suspensions aren't adjoint to ordinary delooping. Instead, the space of maps $\Sigma^L X \to Y$ is adjoint to sections of a bundle over $X$ with fiber $\mathcal{L}^2 Y$. The homotopy structure of the twisted suspension depends on the choice of $L$. For instance, if $X = S^2$ and $L$ is trivial, then $\Sigma^L S^2 = S^4$ is the usual suspension. But if $L$ has Chern number 1, then $\Sigma^L S^2 = \mathbb{C}P^2$ es trivial; c.f. esta relacionado con MO pregunta.)

A primera vista, Eric trenzado de suspensión es muy diferente. Existe para $\Sigma_+^{\infty}\mathbb{C}P^\infty$, and then as Eric says adjoining an inverse to a Bott element $\beta$. (I think that the "+" subscript just denotes adding a disjoint base point.) You can see what is coming just from the rational homotopy groups of $\Sigma^\infty \mathbb{C}P^\infty$. Serre proved that the stable homotopy of a CW complex $K$ are just the rational homology $H_*(K,\mathbb{Q})$. (This is related to the theorem that stable homotopy groups of spheres are finite.) Moreover, in stable, rational homotopy, twisted and untwisted suspension become the same. So Snaith's model is built from the fact that the homology of $\mathbb{C}P^\infty$ equals the homotopy of $BU(\infty)$, como Eric calculada.

Sin embargo, en Snaith del papel de todos los que se lava tomando infinitamente muchas suspensiones para formar $$\det:BU(\infty) \to BU(1) = \mathbb{C}P^\infty$$. Por otra parte, no es un determinante importante del mapa $\mathbb{R}$ que toma la suma directa de la operación de paquetes para el tensor de la multiplicación de la línea de paquetes. Snaith hace una moral inversa de este mapa (y no sólo en racional de homología).

Aún así, la búsqueda de una puramente homotopy de la teoría de la prueba de periodicidad de Bott es como la búsqueda de una puramente algebraica de la prueba del teorema fundamental del álgebra. El teorema fundamental del álgebra no es puramente algebraica declaración! Es una analítica teorema con algebraica de conclusión, ya que los números complejos se define analíticamente. Lo mejor que puedes hacer es principalmente una prueba algebraica, utilizando un mínimo de analítica de la información como la que %#%#% es real cerrados, utilizando el teorema del valor intermedio. Asimismo, la periodicidad de Bott no es puramente homotopy de la teoría de la teorema; es una Mentira de la teoría de la teorema con un homotopy de la teoría de la conclusión. Del mismo modo, lo mejor que puedes hacer es principalmente una homotopy de la teoría de la prueba que cuidadosamente se utiliza como Mentira pequeña teoría de lo posible. La prueba por Bruno Harris se ajusta a esta descripción. Tal vez usted podría también demostrar que mediante la inversión de Snaith del teorema, pero aún se necesita para explicar los hechos que se usan alrededor de la central unitaria de grupos.

(La respuesta es significativamente revisado ahora que sé más acerca de la Snaith del resultado).

Answer 2

Mediante el estudio de filtraciones naturales de bucle de grupos considerados como afín Grassmannians, S. A. Mitchell, en "La Bott Filtración de un Bucle de Grupo", describe un elegante y en su forma elemental prueba de periodicidad de Bott. Homotopy teóricos apreciar que se trata de la inclusión de un esqueleto celular están altamente conectados, mientras que combinatorist y la Mentira de los teóricos de la alegría cuando Mitchell lee fuera Bott periodicidad de los diagramas de Dynkin.

Answer 3

También te puede interesar Giffen las pruebas categóricas utilizando la P de la construcción:

Giffen, Charles H. Bott la periodicidad y el Q-construcción. Algebraica de K-teoría (Poznan, 1995), 107-124, Contemp. Math., 199, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1996.

Answer 4

Quiero añadir un pensamiento acerca de esta cuestión.

La prueba de que usted está sugiriendo parece mucho a lo largo de las líneas de intentar activar la Snaith del método, que muestra K-teoría es recuperable de alguna manera, y la convierten en una prueba donde empezar por conocer nada acerca de K-teoría y, a continuación, mostrar que Snaith de la construcción (a) le informa acerca de vector de paquetes, y (b) indica la resultante de K-grupos de un punto.

Esto parece muy difícil.

De hecho, no es famoso generalización de la Goerss-Hopkins-Miller teorema debido a Lurie que se basa en algo así como Snaith del teorema - y una de las claves que se requiere es que ya sabemos de la existencia de Lubin-Tate cohomology teorías de modo que tenemos algo para comparar nuestro objeto resultante-con-un-formalmente-invertida-preorientation al final del día.

Así que: si alguna vez averiguar cómo hacer esta prueba a ir en la K-teoría del caso, me gustaría saber de usted.

Answer 5

También hay Atiyah y Cantante de la prueba en "Índice de la teoría de la alineación-adjoint operadores de fredholm" Inst. Hautes Études De La Lesión. Publ. De matemáticas. Nº 37 de 1969 5-26. 57.50

Esta prueba utiliza Kuiper del teorema sobre la contractibilidad de la central Unitaria de grupo como su bala de plata.