Para la construcción de un no-grupo abelian de orden $55$ $203$

Question

La construcción de un no-grupo abelian de orden

i) $55$

ii)$203$

Para (i)

Yo consideraba $G$, un grupo cíclico de orden $11$ i.e $G$ se compone de todos los $a^i$ donde asumimos $a^{11}=e$. La asignación de $\phi:a^{i} \to a^{4i}$ es un automorphism de $G$ orden $5$ desde $\phi^{5}(a^i)=a^{1024i}=a^{1023i}a^{i}=a^{i}.$ Deje $x$ ser formal símbolo que nos sujeta a las siguientes condiciones:

a)$x^{5}=e$

b)$x^{-1}a^{i}x=a^{4i}$

c)$x^{i}a^{j}=x^{k}a^{l}$ si y sólo si $i =k(mod5) $ $j=l(mod11)$

Ahora vamos a considerar todas formal de símbolos $x^{i}a^{j}$ donde$i=0,1,2,3,4$$j=0,1,...10$. Este será un grupo, no abelian de orden $55$.

Podemos folloe análisis similar para (ii).

Es esta bien??

Gracias!!

Answer 1

Sí, esto es correcto.

En general, si $p$ $q$ son primos con $p$ dividiendo $q-1$, luego usted puede encontrar una automorphism de la cíclico grupo $C_q$ orden $p$, y luego la forma de la correspondiente semidirect producto de $C_p$ $C_q$ para obtener un no-grupo abelian de orden $pq$.