A la hora de resolver una ODA usar el poder de la serie de método, ¿por Qué necesitamos ampliar la solución alrededor del punto singular?

Question

Cuando la solución de una ecuación diferencial mediante la expansión en series de método, si es que tiene la siguiente forma :

$$y''+\frac{p(x)}{x}y'+\frac{q(x)}{x^2}y=0$$

; donde $p$ $q$ son analíticas en $x_0$; si queremos encontrar la solución en una serie fprm expandido alrededor de $x_0$, que no puede ser resuelto utilizando el método de expansión de la serie y debemos utilizar el método de Frobenius para encontrar la serie en torno a $x_0$.

¿Por qué necesitamos expandirnos alrededor del punto singular? por qué no podemos resolver la ecuación mediante la expansión de $y$ alrededor de un regular, nonsingular punto (me refiero a un punto diferente de $x_0$) y sin utilizar el método de Frobenius ? Es una cuestión de la convergencia de las series de solución en el punto de singularidad?

Answer 1

Primero de todo, la expansión de alrededor de puntos singulares son importantes/interesantes para aplicaciones. Por ejemplo, la ecuación de Bessel $$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$$ se plantea a menudo en problemas con simetría axial. Su singular punto de $x=0$ corresponde precisamente para abordar el eje de simetría.

Segundo, la expansión de alrededor arbitrariamente un punto elegido, en general, no permiten obtener todos los coeficientes de dilatación en una buena forma cerrada - sólo se encuentra una fórmula de recursión que satisfacer. Mientras que la recursividad relación de los correspondientes coeficientes de dilatación alrededor de una singularidad a menudo es solucionable. Ejemplo: la misma ecuación de Bessel tiene una buena solución de la serie $$J_{\nu}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}.$$

Un punto de vista más filosófico: 2nd orden de la ecuación diferencial puede escribirse como un rango de 2 1er orden lineal del sistema. Supongamos que tenemos a su $2\times 2$ matriz fundamental de soluciones $\Phi(x)$. Ser analíticamente continuó a lo largo de un camino cerrado en la esfera de Riemann, $\Phi$ será multiplicada por una constante de matriz, llamada monodromy de la matriz, que sólo depende de la homotopy clase de la ruta.

Si elegimos $\Phi$ arbitrariamente, el monodromy de la matriz para el lazo que rodea un determinado punto singular no es nada especial. Sin embargo, cuando se $\Phi$ está construido a partir de las soluciones obtenidas por el método de Frobenius, el monodromy matriz es especial (por ejemplo, la diagonal en el caso de Bessel). Esto es para decir que tales soluciones son bastante distinguidos de la complejidad analítica punto de vista. Sin embargo, en otras palabras, el método de Frobenius sugiere una "buena" en el espacio de la solución. Por ejemplo, esta elección de la base es en gran parte responsable de la existencia de la diferenciación y la recursividad de las fórmulas para las funciones de Bessel.