doble peine el espacio no es contráctiles

Question

Estoy tratando de demostrar que el doble peine espacio no contráctiles.

Intuitivamente puedo ver por qué esto es cierto, pero me parece que no puede formalizar un profe.

Yo trate de hacer lo siguiente:

Deje $D$ ser el doble peine espacio Supongamos $H:D\times I \rightarrow D$, de modo que $H(x,0)=x$ $H(x,1)=x_0$ donde $x_0\in D$

$D$ es la ruta de acceso conectados de modo que podemos suponer $x_0=(0,0)$.

Ahora necesitamos de alguna forma demostrar que H no es continua, es solo que no estoy seguro de cómo.

Tengo la sensación de que no estoy entendiendo algo de idea básica aquí, y que esta profe debe ser bastante simple, pero no estoy seguro de lo que podría ser.

Gracias.

Answer 1

Has intentado usar el uniforme de la continuidad? $D \times I$ es un espacio métrico compacto por lo que la función de $H$, si es continua, también debe ser uniformemente continua. Esto podría tener implicaciones para la $H$ mapas de dos conjuntos de $x \times I$ $y \times I$ al $x,y \in D$ están muy cerca de $x_0$ pero $x$ está a la izquierda y $y$ está a la derecha de $x_0$.

Answer 2

Deje $x_0=(0,1)$, el punto donde los dos peines son de cuña.

No es $t_0$ tal que

$H(x_0\times[0,t_0])=\{x_0\}$ , y para cada una de las $\epsilon>0$ hay un $0<\alpha<\epsilon$ $\lambda\ne0$ $H(x_0,\ t_0+\alpha)=(0,\ 1+\lambda)$

Tome $0<\epsilon<1$. Por la continuidad, hay un $\delta>0$ con $$H(B_δ(x_0)×[0,\ t_0+δ])\subseteq B_ϵ(x_0)$$ Hay un $0<\alpha<δ$ con $$H(x_0,\ t_0+α)=(0,\ 1+\lambda)$$ donde $λ\in(-ϵ,ϵ)$. De nuevo por la continuidad, hay un $0<\beta<α$ tal que $$H(B_β(x_0)×[-β+(t_0+α),\ (t_0+α)+β])\subseteq B_λ(0,\ 1+λ)$$ Suponer sin pérdida de generalidad que $λ>0$. Pero ¿qué implica esto para un punto de $y=(y_1,1)$ donde $0<y_1<β$. Esto significa que $y$ debe viajar a lo largo de una ruta de acceso a un punto en la parte superior del peine (desde $B_λ(0,1+λ)$ no cumple con la parte inferior de peine), donde se llega en algún momento a $t\in((t_0+α)-β,\ (t_0+α)+β)$. Para ello, se tuvo que bajar a $I×\{0\}$, lo cual es imposible ya que $H(B_δ(x_0)×[0,\ t_0+δ])⊆B_ϵ(x_0)$.

Todavía existe la posibilidad de que $t_0=1$ y el punto de $(0,1)$ se fija en el $I$. Pero eso significaría que el peine espacio muy deformación se retractó en este punto. Pero entonces, por alguna pequeña bola de $B$$x_0$, algunos de los más pequeños de la pelota tenía que ser la estancia en $B$ durante todo el tiempo, evitando que el punto de $y_1$ a partir de viajar a lo largo de la ruta de acceso a través de la base.