Cada divisor primo de $n! + 1$ es un entero impar mayor que $n$

Question

Para $n > 1$, muestran que cada divisor primo de $n! + 1$ es un entero impar mayor que $n$.

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Si $n > 1$, $n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3\cdot2\cdot1 = 2[n(n-1)(n-2) \cdots 3\cdot1]$ es incluso. Por lo $n! + 1$ es impar. ¿Esto significa que cada divisor de $n! + 1$ es impar? No es como incluso un divisor para dividir un número impar de todos modos.

Answer 1

Deje $p$ un divisor primo de $n! + 1$. Si $p \leqslant n$, $p$ divide $n!$, por eso se divide $(n!+1) - n! = 1$, lo cual es imposible. Llegamos a la conclusión de que cada divisor primo de $n! + 1$ es mayor que $n$.

Answer 2

Observe que para $n > 1$, $n!$ es, claramente, incluso mediante la definición de factorial y por lo $n! + 1$ es por lo tanto extraño. Desde $n! +1$ es impar, todos de su primer divisores son impares también.

Answer 3

$$n! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots n.$$ El número de arriba tiene un montón de incluso divisores. Por lo tanto, es un número par (a menos $n=0$ o $1$). En consecuencia, cuando se agrega a $1$ a, se obtiene un número impar. Cada divisor de un número impar es impar. Por lo $n!+1$ no tiene aún divisores.