Es un mapa continuo entre smoothable colectores siempre smoothable?

Question

Deje $X$ $Y$ ser topológico de colectores e $f:X\to Y$ un mapa continuo.

Supongamos $X$ $Y$ admite una estructura diferenciable (al menos uno).

Mi pregunta: ¿es siempre posible elegir una estructura diferenciable en a $X$ y uno en $Y$ de tal manera que $f$ resulta ser diferenciable?

Sé que la respuesta es sí, en algunos casos, por ejemplo, cuando se $f:X\to Y$ es una cubierta de proyección. Sospecho que esto no es cierto en general, pero no puede encontrar un contraejemplo.

Gracias de antemano.

Answer 1

(Tenga en cuenta que esta respuesta es más general que se puede obtener desde cualquier versión de Adrs del teorema, que yo sepa, ya que además de las reglas "diferenciable con discontinuo derivado".)

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$ son obviamente smoothable.
Deje $\hspace{.01 in}\: f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \:$ ser una extensión continua de un espacio de llenado de la curva.
Deje $\: g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \:$ $\: h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \:$ ser gráficos para algunos liso estructura en $\operatorname{Dom}(\:f\hspace{.01 in})$
y $\operatorname{Codom}(\:f\hspace{.01 in})$, respectivamente. $\;\;$ Deje $\: \pi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \:$ ser una proyección de la $x$-coordinar.
$h\circ f\circ g^{-1} \circ \pi \:$ es una función de $\mathbb{R}^2$ a sí mismo, y hacia delante de la imagen de la $x$-eje en virtud de que la función sea la unidad de la plaza. $\:$ Desde que $x$-eje tiene medida de Lebesgue cero en $\mathbb{R}^2$ y la unidad el cuadrado no,
se desprende de la respuesta a mi pregunta aquí que $\: h\circ f\circ g^{-1} \circ \pi \:$ no es diferenciable.
Desde la proyección es, obviamente, diferenciable, esto significa $\: h\circ f\circ g^{-1} \:$ no es diferenciable,
por lo $\hspace{.02 in}f$ no es diferenciable con respecto a la suave estructuras en $\operatorname{Dom}(\:f\hspace{.01 in})$$\operatorname{Codom}(\:f\hspace{.01 in})$.
Por lo tanto, dado que el argumento funciona para cualquier diagramas $g$ y $h$, $\hspace{.05 in}f$ no puede ser diferenciable.