En $\mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(...\mathrm{Aut}(G)...))$ ¿Estabilizar?

Question

Por pura diversión, estuve jugando con aplicar iterativamente $\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}\Aut$ a un grupo $G$ es decir, estudiar grupos de la forma

$$ {\Aut}^n(G):= \Aut(\Aut(...\Aut(G)...)) $$

Algunos resultados rápidos:

• Para grupos abelianos finitamente generados, no es difícil ver que esta secuencia llega finalmente al grupo trivial.
• Para $S_n$ , $n\neq 2,6$ el grupo no tiene centro ni automorfismos externos, por lo que la acción de conjugación proporciona un isomorfismo $G\simeq \Aut(G)$ .
• Además, I cree que si $G$ es un grupo simple finito no abeliano, entonces $\Aut(\Aut(G))\simeq \Aut(G)$ aunque esto se basa en rumores.
• Si se consideran los automorfismos topológicos de grupos topológicos, entonces $\Aut(\mathbb{R})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{R}$ y así $$\Aut(\Aut(\mathbb{R}))\simeq \Aut(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{R})\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{R}.$$

Cuando la secuencia $\Aut^n(G)$ es constante para $n$ diremos que la secuencia estabiliza . A pesar de mis esfuerzos, he sido incapaz de encontrar un grupo $G$ tal que la secuencia $\Aut^n(G)$ es demostrablemente no estabilizador. ¿Es esto posible?

Una pregunta un poco más profunda es si hay grupos $G$ tal que la secuencia se vuelve periódica después de cierto tiempo. Es decir, $\Aut^n(G)\simeq \Aut^{n+p}(G)$ para algunos $p$ y para $n$ suficientemente grande, pero $\Aut^n(G)\not\simeq \Aut^{n+m}(G)$ para $m$ entre 0 y $p$ . Una forma sencilla de producir un ejemplo de este tipo sería dar dos grupos $G \neq H$ tal que $\Aut(G)\simeq H$ y $\Aut(H)\simeq G$ . ¿Alguien conoce un ejemplo de este tipo de par?

Answer 1

Tuve un curso de teoría de grupos con Suzuki en 1993, y demostró que

• si G es un grupo simple finito no abeliano, entonces Aut(Aut(G))=Aut(G).

Ya no tengo esa prueba, así que esto siguen siendo sólo rumores, ¡pero con pedigrí!

Answer 2

Como referencia, obsérvese que el Teorema de la Torre del Automorfismo de Wielandt afirma:

Sea G sea un grupo finito, y supongamos que Z ( G ) = 1. Escriba G ₁ \= G y para i > 1, G _i \= Aut( G _{i - 1} ). Entonces hasta el isomorfismo, sólo hay finitamente muchos grupos diferentes entre los G _i .

De hecho, cito el resultado anterior de Martin Isaacs Teoría de grupos finitos ; más concretamente, el resultado se encuentra en la página 278 del capítulo 9 de esta publicación. Isaacs discute este resultado en el contexto de la subnormalidad con cierta profundidad y también lo demuestra.

Answer 3

No sé si no se estabiliza, pero la rigidez proporciona muchos ejemplos que se estabilizan rápidamente.

1) Sea π el grupo fundamental de una variedad hiperbólica de volumen finito M de dimensión ≥ 3 sin simetrías (es decir, sin autoisometrías no triviales). Curvatura negativa implica que π no tiene centro, por lo que el mapa π -> Aut(π) es inyectivo. La rigidez de Mostow-Prasad dice que Out(π) = Isom(M), por lo que la falta de isometrías implica que Out(π) es trivial y Aut(π) = π. [Esto funciona textualmente para retículos en grupos de Lie semisimples de rango superior sujetos a condiciones apropiadas].

2) Sea π=F _d sea un grupo libre de rango 2≤d<∞. Entonces Aut(F_n) es un grupo mucho mayor; sin embargo, Dyer-Formanek demostró que Out(Aut(F_n)) es trivial. Por lo tanto, dado que Aut(F_n) es claramente sin centro, tenemos Aut(Aut(F_n)) = Aut(F_n).

3) Interpolando entre estos dos ejemplos, si π=π ₁ (S _g ) es el grupo fundamental de una superficie de género g≥2, entonces Aut(π) es el llamado "grupo de clase de mapeo puntuado" Mod _g, que es mucho mayor que π. Ivanov demostró que Out(Mod _g, ) es trivial, y como Mod _g,* es de nuevo sin centro, tenemos Aut(Aut(π ₁ (S _g ))) = Aut(π ₁ (S _g )).

En cada uno de estos casos, la rigidez proporciona de hecho afirmaciones más sólidas: Sean H y H' subgrupos de índice finito de G = Aut(F _n ) o Mod _g,* . (Esta clase de grupos puede ampliarse enormemente, estos son sólo algunos ejemplos). Entonces cualquier isomorfismo de H a H' proviene de la conjugación por un elemento de G, por Farb-Handel e Ivanov respectivamente. En particular, Aut(H) es el normalizador de H en G. La rigidez da la misma conclusión para H = π ₁ (M) como en el primer ejemplo y G = Isom(H n ) [que es aproximadamente SO(n,1)]. Parece que controlando cuidadosamente los normalizadores, se podría utilizar esto para construir ejemplos que se estabilizan sólo después de n pasos, para n arbitrariamente grande.

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Edición: Encuentro los ejemplos de D ₈ y D _∞ insatisfactorio porque aunque Inn(D) es un subgrupo propio de Aut(D), seguimos teniendo Aut(D) isomorfo a D. He aquí una receta general para construir ejemplos liminales similares. Sea G un grupo infinito sin 2-torsión de modo que Aut(G) = G y H 1 (G;Z/2Z) = Z/2Z. (Editado: Por ejemplo, por rigidez, cualquier complemento de nudo hiperbólico sin isometrías tiene estas propiedades; por Thurston, la mayoría de los complementos de nudo son hiperbólicos). La condición sobre la 2-torsión implica que para cualquier automorfismo G x Z/2Z -> G x Z/2Z, la composición

G -> G x Z/2Z -> G x Z/2Z -> G

es un isomorfismo. De aquí se deduce que Aut(G x Z/2Z) / G = H 1 (G;Z/2Z) = Z/2Z. Por examen la extensión es trivial, y por tanto Aut(G x Z/2Z) = G x Z/2Z. Sin embargo, la imagen Inn(G x Z/2Z) es el subgrupo propio G.

Comentarios: mirando hacia atrás, esto se siente muy cerca de su ejemplo original de R x Z/2Z. Es interesante que (aparentemente) es mucho más difícil encontrar condiciones teóricas de grupo para forzar el comportamiento de la manera deseada, mientras que topológicamente es fácil.

Además, si en vez de G tomas H 1 (G;Z/2Z) de mayor dimensión, digamos H 1 (G;Z/2Z) = (Z/2Z) 2 Esto explota rápidamente. Se obtiene Aut(G x Z/2Z) = G x (Z/2Z) 2 pero entonces Aut(Aut(G x Z/2Z)) es el producto semidirecto de H 1 (G;Z/2Z 2 ) = (Z/2Z) 4 con Aut(G) x Aut(Z/2Z 2 ) = G x GL(2,2). Ya el siguiente paso parece muy difícil de resolver. Sin embargo, si se tuviera suficiente control sobre los cocientes finitos de G, tal vez se podría demostrar que las partes lineales de estos grupos no se "enredan" con el resto, de modo que los grupos de automorfismo actuarían como un producto de G x (Z/2Z) n con otra cosa, con n hasta el infinito. Si es así, esto podría dar lugar a un ejemplo en el que el tipos de isomorfismo de los grupos nunca se estabilizan.

Answer 4

"si G es un grupo simple no abeliano, entonces Aut(Aut(G))=Aut(G)".

Este es el teorema 7.14 (página 162) de

Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
1995 Springer-Verlag New York, Inc. ISBN 0-387-94285-8 Springer-Verlag Nueva York Berlín Heidelberg ISBN 3-540-94285-8 Springer-Verlag Berlín Heidelberg Nueva York

Le deseo lo mejor,

Fernando.

Answer 5

Recuerdo que mi antiguo compañero de Berkeley, Joel Hamkins, trabajó en la versión transfinita de este problema. El problema de la torre de automorfismo de Simon Thomas, es un libro entero sobre este tema. El comienzo del libro da el ejemplo del grupo diedro infinito $D_\infty$ en el sentido de $\mathbb{Z}/2 \ltimes \mathbb{Z}$ . Dice que la torre de automorfismo de este grupo tiene altura $\omega+1$ . También trata el teorema de Joel, que dice que toda torre de automorfismo sí se estabiliza, transfinitadamente. A Actas con el mismo autor y título dice que Wielandt demostró que todo grupo finito sin centro tiene una torre de automorfismo finita.

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Una respuesta mejorada: El libro de Simon muestra más tarde que la torre de automorfismo del grupo finito $D_8$ tiene altura $\omega+1$ y que para grupos finitos generales nadie conoce siquiera un buen límite transfinito. (El $8$ puede parecer un error tipográfico de $\infty$ pero no lo es :-).) Aparentemente la condición sin centro es esencial en la condición de Wielandt.

Además, para aclarar lo que estas referencias entienden por torre de automorfismo, utilizan específicamente el límite directo de los homomorfismos de conjugación $G \to \mbox{Aut}(G)$ . $D_8$ es abstractamente isomorfo a su grupo de automorfismo. Esta es una versión diferente de la pregunta que supongo que no tiene una extensión transfinita. La sección 5 del libro de Thomas implica que es un problema abierto si la torre termina en este sentido más débil, para grupos finitos.

Por fin un enlace arXiv al encantador artículo de Joel Hamkins, Todo grupo tiene una torre de automorfismo transfinito terminal .

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Como han señalado otras personas en este hilo, es insatisfactorio hacer una torre de automorfismo que sólo se estabiliza transfinitamente como límite directo, cuando todos los términos finitos de la torre son abstractamente isomorfos al grupo base $G$ . Busqué en Google un poco más y volví a las mismas dos fuentes, el libro de Thomas, y esta vez un resultado conjunto de Hamkins y Thomas que se encuentra en el capítulo 8 del libro.

Si una torre de automorfismo se estabiliza después de exactamente $n \in \mathbb{N}$ pasos en el sentido del límite directo, entonces también se estabiliza después de exactamente $n$ pasos en el sentido de isomorfismo abstracto más débil. (De lo contrario, el límite directo "no sabría detenerse".) Hamkins y Thomas lo hacen mejor. Para cualquier dos ordinales $\alpha$ y $\beta$ que pueden o no ser números finitos, encuentran un grupo $G$ cuya torre de automorfismo tiene altura $\alpha$ y $\beta$ en dos modelos diferentes de la teoría de conjuntos ZFC. (No tengo claro si es realmente el "mismo" conjunto en mundos diferentes, pero sus modelos están construidos para argumentar que es así). Yo supondría que es posible hacer una torre sin términos isomorfos tomando un producto de estos grupos, incluso sin la propiedad dos por uno.

Aparte de un documento sobre el grupo Grigorchuk de Bartholdi y Sidki, no he encontrado nada sobre torres de automorfismo de grupos finitamente generados. El grupo de Grigorchuk tiene una torre contablemente infinita, pero tendría que aprender más para saber si los términos son abstractamente isomorfos.