Una de las ventajas de mi tema de investigación (los cuadrados latinos) es que es algo posible para explicar lo que he de hacer para aquellos bastante con un mínimo de matemáticas. Lo voy a plantear una pregunta típica que aparece en uno de mis principales temas de investigación como un problema aquí, yo estoy con la esperanza de que esto va a abrir el apetito de alguien que está considerando hacer de posgrado en matemáticas.
Un cuadrado latino es una $n \times n$ matriz con los símbolos de $[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$ de manera tal que cada fila y cada columna contiene cada símbolo.
Deje $L=(l_{ij})$ ser un cuadrado latino. Para cualquier fila $i$ y la columna $j$, Podemos decir $(i,j,l_{ij})$ es una entrada de $L$. El conjunto de entradas de $O=\{(i,j,l_{ij}):i \in [n], j \in [n]\}$ es llamada la matriz ortogonal de $L$.
Un automorphism de $L$ es una permutación $\alpha$ $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que $O$ se conserva en $(i,j,l_{ij}) \mapsto (\alpha(i),\alpha(j),\alpha(l_{ij}))$.
Esta definición puede parecer un poco complicado, pero podemos ver esta propiedad es relativamente fácil. He aquí un ejemplo para la orden de 15:
$\left(\begin{array}{cccccccccccc|ccc} 13 & 8 & 14 & 9 & 15 & \mathbf{10} & 4 & 11 & 5 & 12 & 6 & 1 & 7 & 3 & 2 \\ 2 & 14 & 9 & 15 & 10 & 13 & \mathbf{11} & 5 & 12 & 6 & 1 & 7 & 3 & 8 & 4 \\ 8 & 3 & 15 & 10 & 13 & 11 & 14 & \mathbf{12} & 6 & 1 & 7 & 2 & 5 & 4 & 9 \\ 3 & 9 & 4 & 13 & 11 & 14 & 12 & 15 & \mathbf{1} & 7 & 2 & 8 & 10 & 6 & 5 \\ 9 & 4 & 10 & 5 & 14 & 12 & 15 & 1 & 13 & \mathbf{2} & 8 & 3 & 6 & 11 & 7 \\ 4 & 10 & 5 & 11 & 6 & 15 & 1 & 13 & 2 & 14 & \mathbf{3} & 9 & 8 & 7 & 12 \\ 10 & 5 & 11 & 6 & 12 & 7 & 13 & 2 & 14 & 3 & 15 & \mathbf{4} & 1 & 9 & 8 \\ \mathbf{5} & 11 & 6 & 12 & 7 & 1 & 8 & 14 & 3 & 15 & 4 & 13 & 9 & 2 & 10 \\ 14 & \mathbf{6} & 12 & 7 & 1 & 8 & 2 & 9 & 15 & 4 & 13 & 5 & 11 & 10 & 3 \\ 6 & 15 & \mathbf{7} & 1 & 8 & 2 & 9 & 3 & 10 & 13 & 5 & 14 & 4 & 12 & 11 \\ 15 & 7 & 13 & \mathbf{8} & 2 & 9 & 3 & 10 & 4 & 11 & 14 & 6 & 12 & 5 & 1 \\ 7 & 13 & 8 & 14 & \mathbf{9} & 3 & 10 & 4 & 11 & 5 & 12 & 15 & 2 & 1 & 6 \\ \hline 12 & 2 & 1 & 3 & 5 & 4 & 6 & 8 & 7 & 9 & 11 & 10 & 15 & 14 & 13 \\ 11 & 1 & 3 & 2 & 4 & 6 & 5 & 7 & 9 & 8 & 10 & 12 & 14 & 13 & 15 \\ 1 & 12 & 2 & 4 & 3 & 5 & 7 & 6 & 8 & 10 & 9 & 11 & 13 & 15 & 14 \\ \end{array}\right)$
en el que se admite la automorphism $\alpha=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)(13,14,15)$. Las líneas horizontales y verticales indican la localización de los ciclos de "break" en $\alpha$. Destaco una órbita de una entrada [es decir, que comienza con la entrada (1,6,10), aplicamos $\alpha$ repetidamente] -- traza un roto de la diagonal de la parte superior del bloque de izquierda, y el símbolo "se incrementa en uno, envolviendo después de 12".
Por lo tanto, aquí se muestra un ejemplo de pregunta de mi investigación:
Pregunta: Vamos A $\alpha=(1,2,3,4,5,6)(7,8,9,10,11,12)(13,14)(15,16)$. Es $\alpha$ un automorphism de algunos de los cuadrados latinos de orden $16$?
Esta es una pregunta que ha surgido en mi investigación, y la pregunta más general "Dado $\alpha$ $\alpha$ un automorphism de algunos de los cuadrados latinos de orden $n$?" es uno de mis principales temas de investigación.
