Simplicial y cúbica descomposiciones de baja valencia

Question

Cada superficie puede ser trianguladas de tal manera que en la mayoría de los 7 trianlges se encuentran en un vértice. Cada superficie puede ser descompuesto en plazas que en cada vértice, en la mayoría de los 5 suqares cumplir. Para superficies de género más de 1 esta es la baja obligada.

Lo que sucede en las dimensiones superiores, por ejemplo, para 3 y 4-variedades, ect...? Debe ser fácil demostrar que para cada dimensión $n$ hay números de $S(n)$ e e $C(n)$ de manera tal que cada colector $M^n$ admite un simplicial de descomposición con en la mayoría de las $S(n)$ simplexes en cada vértice y un cubo de descomposición con en la mayoría de las $C(n)$ cubos en cada vértice. El refference de Gil a continuación confirma esto por $n=3$.

Aquí hay tres preguntas (sospecho que son difíciles).

1) Puede ser probado que $C(n)>2^n$?

2) Puede ser probado que $S(n)>\frac{Vol(S^n)}{Vol(\Delta^n)}$ donde $\Delta^n$ es la esférica tetraedro con el borde de la longitud de la $\frac{\pi}{3}$ en la unidad de la esfera de $S^n$.

3) ¿hay alguna estimación razonable para $C(n)$ $S(n)$ desde arriba?

Answer 1

El papel de Cooper y Thurston: la Triangulación de las 3-variedades con cinco vértices tipos de vínculo. Topología 27 (1988), no. 1, 23--25, es relevante. A partir de la revisión: "se sabe que, para cualquier dimensión n, es un conjunto finito de tipos de vínculo que cada n-manifold tiene una triangulación en la que el enlace de cada vértice es en este conjunto." Esto no responde a la pregunta específica, y también no tratar el caso de los cubos-colectores, pero puede ser un buen lugar para empezar.

Answer 2

Para n = 3, Cooper y Thurston (ver Gil respuesta para citación) de que toda 3-variedad puede ser pavimentadas con cubos con sólo 3 vértice tipos de vínculo. Estos tres tipos tienen 6, 8 y 10 cubos en cada vértice. Cooper y Thurston luego subdividir los cubos en simplices para demostrar que cualquier 3-colector puede ser triangular con vértice 5 tipos de vínculo. Un poco más inteligente de la subdivisión de la estrategia muestra que, de hecho, uno sólo necesita 3 vértice tipos de enlace en una triangulación. La mayor de estos tipos tiene 30 simplices alrededor de un vértice.

C&T utilice un resultado de Montesinos, donde dice que toda 3-variedad rama cubre la 3-esfera con la rama locus, los anillos de borromeo. Esto implica que toda 3-variedad tiene un Euclidiana orbifold-ish estructura, donde la no-liso puntos de los barrios isomorfo a un intervalo de la cruz 2-dimensional cono con un ángulo de cono 3/2 pi o 5/2 pi. Si un análogo resultado fuera cierto en las dimensiones superiores, a continuación, uno puede mostrar que cualquier n-manifold podría ser pavimentadas con hypercubes utilizando sólo 3 vértice tipos de vínculo. La mayor vértice enlace usaría 5/4 * 2^n cubos.