Definición de la (in)coherencia en la lógica proposicional

Question

En mi libro de texto que tengo este (sintáctica) definición de inconsistencia:

Decimos que $\Sigma$ ($\subseteq\textrm{Prop}(A)$) es incoherente si $\Sigma\vdash\bot$.

Creo que la definición intuitiva de la inconsistencia es que algunos de $\Sigma$ de fórmulas proposicionales es inconsistente si contiene contradicción (para ser más precisos, si la contradicción es demostrable), es decir, si existe una fórmula $p$, de tal manera que $\{p,\neg p\}\subseteq\Sigma$.

Me gustaría comprobar si la definición intuitiva de la consistencia es consistente con la de mi libro de texto. (:

Yo lo haría así:

Supongamos que existe una proposición $p$, de tal manera que $\{p,\neg p\}\subseteq\Sigma$. Ahora, entre los de mi (las descritas en mi libro de texto) proposicional axiomas tengo uno $$p\rightarrow(\neg p \rightarrow \bot).$$ So by applying modus ponens to $p$ and $p\rightarrow(\neg p \rightarrow \bot)$ I infer that $$\Sigma\vdash (\neg p \rightarrow \bot).$$ Now I again apply modus ponens to $\neg p$ and $\neg p\rightarrow \bot$ and infer that $$\Sigma\vdash\bot.$$ This yields a contradiction, because one of my propositional axioms is also $\$.

Es esta una manera correcta para demostrar que esas definiciones son equivalentes?

Gracias por sus respuestas!

--pizet

Answer 1

Como una nota a pie de página Asaf la respuesta, tengo la sospecha de que lo que el OP fue después, por medio de un "intuitiva" definición " de hecho fue la idea de que

(A) Un conjunto de wffs $\Sigma$ es inconsistente sólo cuando existe una proposición $A$ tal que $\Sigma \vdash A$$\Sigma \vdash \neg A$.

Y la pregunta es cómo esto se relaciona con la definición de libro

(B) Un conjunto de wffs $\Sigma$ es incompatible iff $\Sigma \vdash \bot$.

Hay un tercer familiar definición

(C) Un conjunto de wffs $\Sigma$ es incompatible iff, para todos los wffs $A$ (de la lengua en cuestión) $\Sigma \vdash A$.

Así, estos llegan a la misma en un clásico (y intuitionist). El OP esbozado prueba-idea, junto con la regla de que $\bot$ implica nada, puede ser re-utilizado para demostrar que (A) es equivalente a (B) y (C). (En la más elegante de la lógica, o más restringido lógicas de estas definiciones puede, por supuesto, la cáscara de diferencia).

Answer 2

Tenga en cuenta que $\Sigma$ está siendo incoherente no significa que $\Sigma$ contiene $\{p,\lnot p\}$ algunos $p$.

Por ejemplo, $\Sigma=\{p\land\lnot p\}$ es claramente inconsistente, pero no contiene dos proposiciones.

Estás en lo correcto de que la inconsistencia es la misma que la contradicción de ser demostrable. Pero como señalé anteriormente, no es la misma cosa que contenga $p$ $\lnot p$ de las formulas.