Mostrar que no hay tal función

Question

Este es un viejo qual problema en el que estoy trabajando: Mostrar que no es toda la función de $f(z)$ satisfacción $|f(z)-e^{\overline{z}}|\leq 3|z|$ todos los $z\in \mathbb{C}$.

He intentado utilizar el teorema de Liouville dividiendo ambos lados por $|z|$ ,pero no acaba de funcionar debido a $e^{\overline{z}}$ no es analítica. He intentado un par de cosas más, pero ninguno dio resultado vale la pena mencionar aquí. Agradecería cualquier tipo de ayuda.

Answer 1

Supongamos que la desigualdad es verdadera. Deje $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n.$ Deje $g(z) = \exp (\bar z ).$ Nota de que

$$g(re^{it}) = \sum_{n=0}^{\infty}r^ne^{-int}/n!.$$

El uso de la ortogonalidad de las exponenciales, a continuación, obtener

$$(1/2\pi)\int_0^{2\pi}|f(re^{it}) - g(re^{it})|^2\, dt = |a_0-1|^2+\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^2r^{2n} + \sum_{n=1}^{\infty}r^{2n}/(n!)^2 \le 9r^2.$$

A causa de la segunda serie, esta desigualdad se produce un gran $r,$ contradicción.