¿Cómo puedo encontrar el grupo de Galois de $x^4-5$ más de $\mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(\sqrt5)$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$? He conseguido hacerlo con $\mathbb{Q}$ pero no sé cómo encontrar a los demás.
Agradecería cualquier ayuda. Gracias!
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ccorn
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Ya ha encontrado que la división de campo es $E=\mathbb{Q}(\mathrm{i},\sqrt[4]{5})$ y que $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\cong D_8$ (yo uso el algebraicas convenio donde el índice indica el orden del grupo, no el número de vértices). Por lo tanto, el resto de los campos citado son intermedios campos de $K$ entre el$E$$\mathbb{Q}$. Utilizar el teorema fundamental de la teoría de Galois, es decir, encontrar el subgrupo de $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ cuyos miembros fix $K$.
En primer lugar, vamos a encontrar una adecuada presentación para $G = \operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$. Una opción sencilla es $G = \langle\tau, \sigma\rangle$ donde $\tau$ es compleja conjugación, así la fijación de $\sqrt[4]{5}$ y el envío de $\mathrm{i}$$\tau(\mathrm{i})=-\mathrm{i}$, y $\sigma$ corrige $\mathrm{i}$, mientras que la rotación $\sqrt[4]{5}$ a $\sigma(\sqrt[4]{5})=\mathrm{i}\sqrt[4]{5}$. Por lo tanto, $\tau$ tiene fin $2$, $\sigma$ tiene orden de $4$, y $\sigma\tau=\tau\sigma^{-1}$.
Queda por encontrar subgrupos de $G$ que corregir varios intermedios campos $K$. El índice de un subgrupo en $G$ debe ser igual a la extensión de grado de su campo fijo de más de $\mathbb{Q}$. Es decir, los subgrupos de orden $d$ dividiendo $8$ corresponden a intermedios campos de grado $8/d$$\mathbb{Q}$. Por ejemplo, $\sigma^2$ corrige $\mathrm{i}$$\sqrt{5}$, por lo tanto el orden-$2$ subgrupo $\langle\sigma^2\rangle$ corrige el grado-$4$ la extensión de campo $\mathbb{Q}(\mathrm{i},\sqrt{5})$. Fija de no más de campo, ya que violaría el índice de condición. Asimismo, $\tau$ corrige $\sqrt[4]{5}$ y por lo tanto corrige $\sqrt{5}$ como bueno, de modo que el orden-$4$ subgrupo $\langle\tau,\sigma^2\rangle$ corrige el grado-$2$ extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$.
He hecho un diagrama que contiene algunos de los más intermedio campos. Si lo tengo a la derecha (check it!), tenemos la siguiente correspondencia, mostrar los campos junto con los subgrupos de $G$ que arreglar. Las flechas "se extiende" para los campos y "es subgrupo de" para los grupos de Galois. $$\begin{matrix} &&&& \substack{\mathbb{Q}(\mathrm{i},\sqrt[4]{5})\\\{1\}} \\ &&& \swarrow & \downarrow & \searrow \\ && \substack{\mathbb{Q}(\mathrm{i},\sqrt{5}) \\\langle\sigma^2\rangle} && \substack{\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}) \\\langle\tau\rangle} && \substack{\mathbb{Q}(\mathrm{i}\sqrt[4]{5}) \\\langle\tau\sigma^2\rangle} \\ & \swarrow & \downarrow & \searrow & \downarrow & \swarrow \\ \substack{\mathbb{Q}(\mathrm{i}) \\\langle\sigma\rangle\cong C_4} && \substack{\mathbb{Q}(\mathrm{i}\sqrt{5}) \\\langle\tau\sigma,\sigma^2\rangle\cong V_4} && \substack{\mathbb{Q}(\sqrt{5}) \\\langle\tau,\sigma^2\rangle\cong V_4} \\ & \searrow & \downarrow & \swarrow \\ && \substack{\mathbb{Q} \\\langle\tau,\sigma\rangle\cong D_8} \end{de la matriz}$$ La tercera fila contiene lo que su pregunta ha buscado. $C_4$ significa que un grupo cíclico de orden $4$, $V_4$ significa Klein Cuatro grupo. Tenga en cuenta que el diagrama no está completo, me fui por ej. $\mathbb{Q}\left((1-\mathrm{i})\sqrt[4]{5}\right)$ que es fijado por $\tau\sigma$ y se extiende $\mathbb{Q}(\mathrm{i}\sqrt{5})$. Puede que desee para completar el diagrama para ver la imagen completa.
Desde $\;x^4-5=(x^2-\sqrt5)(x^2+\sqrt5)\;$ , el polinomio raíces,$\;\pm\sqrt[4]5\;,\;\pm\sqrt[4]5\,i\;$ .
Pero $\;x^4-5\in\Bbb Q(i)[x]\;$ es irreductible, de lo contrario cualquiera
$$\sqrt[4]5\in \Bbb Q(i)\implies \exists\,a,b\in\Bbb Q\;\;s.t.\;\;\sqrt[4]5=a+bi$$
que sabemos que es posible en $\;\Bbb C\;$ fib $\;a=\sqrt[4]5\;,\;\;b=0\;$ (igualdad en $\;\Bbb C\;$) , o bien puede ser factorizado en el producto de dos cuadráticas $\;\Bbb Q(i)\;$ , que ahora es fácil de ver que es imposible (como la factorización anterior sucede en $\;\Bbb C[x]\;$ , que contiene los campos del polinomio anillos)
Por lo tanto,
$$[\Bbb Q(i,\sqrt[4]5):\Bbb Q(i)]=4\implies \text{the Galois group wanted is the cyclic}\;\;C_4\;\;or\;\;C_2\times C_2$$ De saber cuál es el grupo de Galois es le ayudará a averiguar cuál es .
Ahora trato de hacer algo similar para los otros casos.
Añadido a petición: Por ejemplo, más de $\;K:=\Bbb Q(\sqrt{-5})=\Bbb Q(\sqrt5\,i)\;$:
El polinomio $\;x^4-5\in K[x]\;$ es irreductible, de lo contrario cualquiera
$$\pm\sqrt5\in K\iff \exists\,a,b\in\Bbb Q\;\;s.t.\;\;\pm\sqrt5=a+b\sqrt5i$$
o otra cosa
$$\pm\sqrt[4]5\,,\,\pm\sqrt[4]5i\in K\implies \exists\,a,b\in\Bbb Q\;\;s.t.\;\;\begin{cases}\pm\sqrt[4]5\\\pm\sqrt[4]5i\end{cases}=a+b\sqrt5i\implies$$
y en ambos casos nos llevan a la contradicción (comprobar!), así
$$[\Bbb Q(\sqrt[4]5\,,\,i):\Bbb Q(\sqrt5 i]=4$$
