$n$-forma elástica de las colisiones de partículas en 1D, para $n \ge 3$

Question

Esta es mi pregunta, no una HW pregunta.

Me llevó el primer año de física$\,{\large{-}}\,$disfruté y lo hizo bien en él, pero eso fue hace mucho tiempo, y he olvidado la mayor parte de ella.

Para empezar, tome $n = 3$.

Aquí está el programa de instalación . . .

Tres partículas puntuales $P_1,P_2,P_3$ están moviendo en la $x$-eje.

Para la partícula $P_k$,

• $\,m_k$ es su masa
• $\,x_k(t)$ es su posición en el momento $t$
• $\,v_k(t)$ es su velocidad en el momento $t$

Datos iniciales:

• $\,x_1(0) = -1,\;\;v_1(0) = 1$
• $\,x_2(0) = 1,\;\;\;\;\,v_2(0) = -1$
• $\,x_3(0) = 2,\;\;\;\;\,v_3(0) = -2$

Supuestos:

• Velocidades sólo puede cambiar como resultado de una colisión.
• Las partículas no se puede pasar, aunque cada uno de los otros.
• Todas las colisiones son elásticas.

Está claro que habrá un $3$-camino de colisión en el tiempo $t=1$.

La pregunta básica es ¿cuáles son las velocidades después de la colisión?

Es de suponer que depende de las masas.

Las respuestas dadas hasta ahora afirman que las velocidades después de la colisión no se determina únicamente, pero no estoy seguro de que las respuestas que se están utilizando toda la información disponible.

Intuitivamente, yo esperaría que la información inicial a ser suficiente para determinar el movimiento.

Propuesta de resolución: En un $n$-modo de colisión, donde $n \ge 3$, supongamos que para cada partícula $P$ en la colisión, el post-colisión, la velocidad de $P$ es la misma que sería si $P$ chocó con una ficticia de partícula $Q$, de tal manera que la masa de $Q$ es igual a la masa total del conjunto de los complementos de partículas (el conjunto de partículas de distinto $P$), y la velocidad de $Q$ se elige de modo que el impulso de $Q$ es igual a la suma de los momentos de las partículas en el conjunto complementario.

Por lo tanto, para cada partícula $P_k$, hay una ficticia de partícula $Q_k$, sustituir temporalmente todas las partículas distinta de $P_k$, cuyo único propósito es determinar la post-colisión, la velocidad de $P_k$. Después de ese cálculo, $Q_k$ es desechado.

Llamar a esto el "ficticio partícula" método.

Como un ejemplo de prueba para $n=3$ con $m_1=m_2=m_3=1$, junto con los datos especificados anteriormente para esta pregunta (en la parte superior de este post), la partícula ficticia método de los rendimientos de post-colisión de velocidades para$P_1,P_2,P_3$$-\frac{7}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}$.

Como otro ejemplo de prueba, el uso de $m_2=2$$m_2=m_3=1$, pero todos los demás datos de la misma, la partícula ficticia método de los rendimientos de post-colisión de velocidades para$P_1,P_2,P_3$$-\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}$.

Tenga en cuenta que para ambos de los anteriores ejemplos de prueba, el valor calculado de post-colisión velocidades de preservar el original momentum total, así como el original de la energía total.

Hay algún problema con esta propuesta de forma de modelado $n$-forma de colisiones?

En realidad, no es un problema, pero no tengo tiempo para discutir eso ahora.

Pero tengo un nuevo entendimiento de estos $n$-forma colisiones, basadas en algunos de los cálculos que hice hace un rato. No es la misma que la partícula ficticia método, pero el resultado es lo que yo creo que es la verdadera, correcta resolución. Necesito comprobar un poco más, y no voy a tener tiempo para publicar los detalles hasta el domingo, pero si sale bien, voy a publicar como una respuesta.

Answer 1

Porque usted escribe que una 3-forma de la colisión tiene lugar en $t=1$, voy a asumir que la velocidad inicial permanecen iguales. Voy a llamar a todas las $v$'s antes de la colisión $v_{i k}$, and after $v_{ak}$. A partir de la conservación del momento:

$m_1 v_{i1}+m_2v_{i2}+m_3v_{i3}=m_1v_{a1}+m_2v_{a2}+ m_3v_{a3}$

Poner en los valores de las velocidades:

$m_1-m_2-2m_3=m_1v_{a1}+m_2v_{a2}+m_3v_{a3}$

A partir de la conservación de la energía cinética:

$\frac1 2 m_1+\frac1 2m_2+2m_3=\frac1 2m_1v_{a1}^2+\frac1 2m_2v_{a2}^2+\frac1 2m_3v_{a3}^2$

Si se conocen los valores de $m_1$, $m_2$ y $m_3$ lo pienso, se puede ver que no existe una única solución, porque se tienen dos ecuaciones con tres variables, en el que caso de que usted tiene una cantidad infinita de soluciones.

Answer 2

No se puede calcular. Explico por qué.

En el análoga 2-problema de los tres cuerpos, dispone de 2 ecuaciones (impulso + conservación de la energía), y 2 incógnitas (el saliente de velocidades).

Aquí usted todavía tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Por lo tanto, la información que tenemos no es suficiente para calcular el resultado final. Aunque se puede calcular un 1-dimensional parametrizadas espacio de los posibles resultados.

La razón más profunda detrás de esto es: el cuerpo rígido, colisión elástica, pointlike partículas, 1-dimensional rotationless partículas, todos ellos son abstracciones. Son un idealizado aproximación de la realidad. En la realidad, ninguno de ellos existe, la realidad un poco difiere de ellos.

En el 2-cuerpo caso, esta pequeña diferencia hace que sólo una pequeña desviación del resultado calculado. Pero en el 3-cuerpo de caso, sus menores detalles de cambiar significativamente el resultado. Dónde exactamente va a ser el resultado de su experimento en este conjunto de la 1d espacio de parámetros, depende de estos pequeños detalles.

Answer 3

Mente sus aproximaciones!

Punto de partículas son cosas abstractas, y punto de colisiones también no son tan reales. Lo que realmente sucede con los cuerpos reales en el mundo real es que tienen formas y distribuciones de densidad.

Recuerde, las leyes de conservación no son un sustituto de la dinámica de las ecuaciones (en su caso, la segunda ley de Newton). Tomar un sistema en tres dimensiones compuesto por partículas en $x_i(t)$ donde $i$ indica el número de la partícula. Con $N$ de las partículas, tenemos $3N$ grados de libertad, y podemos relacionarlos con las fuerzas a través de la ley de Newton. Sólo tenemos $4$ leyes de conservación (de la energía y el impulso), así que tenemos que solucionar $3N-4$ ecuaciones diferenciales y, a continuación, podemos obtener la última $4$ coordenadas a través de las leyes de conservación.

En el caso de los cuerpos reales, la forma principalmente determina el impacto. En este caso, las fuerzas actúan a través de la colisión y el intercambio de impulso, pero se puede calcular el final de las direcciones con un poco de esfuerzo.

También hay una segunda cosa que usted puede hacer para tener un mejor modelo de colisiones. Tomar el electromagnetismo, donde los cargos se atraen y se repelen entre sí. En el caso simple de 2 partículas, se puede describir el movimiento a través de la Coulomb la fuerza. Si usted toma cargas del mismo signo, se comportan de la misma manera como la colisión de los cuerpos (sólo con un contacto sin interacciones). En general, para tener un modelo completo de colisiones que tienes que saber de las fuerzas en el sistema y resolver algunas ecuaciones diferenciales. Punto de colisiones son sólo una aproximación, y en este caso la aproximación no es suficiente.

Answer 4

Yo supongo (dime que si, no) te refieres a estas tres ecuaciones se presentan (conservación de la af impulso):

$m_1v_{1i}+(m_2+m_3)(v_{2i}+v_{3i})=m_1v_{1a}+(m_2+m_3)(v_{2a}+v_{3a})$

$m_2v_{2i}+(m_1+m_3)(v_{1i}+v_{3i})=m_2v_{2a}+(m_1+m_3)(v_{1a}+v_{3a})$

$m_3v_{3i}+(m_1+m_2)(v_{1i}+v_{2i})=m_3v_{3a}+(m_1+m_2)(v_{1a}+v_{2a})$

Rellenar $m=1$ para los tres masas:

$v_{1i}+2(v_{2i}+v_{3i})=v_{1a}+2(v_{2a}+v_{3a})$

$v_{2i}+2(v_{1i}+v_{3i})=v_{2a}+2(v_{1a}+v_{3a})$

$v_{3i}+2(v_{1i}+v_{2i})=v_{3a}+2(v_{1a}+v_{2a})$

De llenado en los tres velocidades iniciales (1,-1,-2):

$-5=v_{1a}+2(v_{2a}+v_{3a})$

$-3=v_{2a}+2(v_{1a}+v_{3a})$

$-2=v_{3a}+2(v_{1a}+v_{2a})$

De llenado en (-7/3,-1/3,2/3):

$-5=-\frac5 3 $

$-3=3$

$-2=-\frac {14} 3$

Es obvio que el final velocidades usted vino para arriba con no son correctos. Fuera de curso, tal vez he cometido un error en alguna parte. Tal vez usted puede probar por ti mismo si las tres ecuaciones que se me ocurrió para las velocidades después de la colisión tiene una solución.

Answer 5

Sólo para descansar en mi cabeza antes de ir a la cama:

Para $P_1$ (dejar que todas las masas ser igual a 1):

La conservación del momento: $1-3(=-2*\frac2 3)=v_{1a}+2v_{fa}$

Conservación de la energía: $\frac 1 2 +(-\frac3 2)^2=\frac1 2(v_{1a})^2+(v_{fa})^2$

Así que a partir de la primera ecuación, obtenemos: $v_{fa}=-1-\frac1 2 v_{1a}$

Poner esto en la segunda ecuación: $3(v_{1a})^2+4v_{1a}-7=0$

A partir de la abc-fórmula, obtenemos $v_{1a}=-\frac7 3$ o $v_{1a}=1$

Tan sólo $v_{1a}=-\frac7 3$ permanece porque $v_{1a}=1$ implica que el $P_1$ pasa a través de los otros dos.

Lo mismo se puede hacer para $P_2$ $P_3$ y masas diferentes.