¿Dónde está mi argumento de que $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}dx=0$ ¿se equivoca?

Question

$$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}dx$$

Dejo que $u = 1-x^2$ , $x = (1-u)^{1/2}$

$du = -2x dx$

$$-\frac{1}{2}\int_{0}^{0} \frac{u^{1/2}}{(1-u)^{1/2}} = 0$$ porque $$\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$$

Pero no es cero. ¿Por qué?

Answer 1

Para $x \in [-1,0)$ , tú no puede tener $$ u = 1-x^2 \implies x = (1-u)^{1/2} $$ por lo que su cambio de variable es no es válido en $[-1,0)$ .

Sería mejor que escribiera por paridad $$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}dx=2\int_0^{1} \sqrt{1-x^2}dx $$ entonces utiliza el cambio de variable dado.

Answer 2

Sólo se puede hacer una sustitución en u cuando es biyectiva en su dominio de integración. Puedes resolver este problema dividiendo tu integral en $\int_{-1}^0$ y $\int_0^1,$ y utilizando $x=-(1-u)^{1/2}$ en la primera integral, y $x=(1-u)^{1/2}$ en el segundo.