¿Qué moderno-día de los analistas de la realidad?

Question

En un álgebra abstracta de la clase, uno aprende acerca de los grupos, anillos y campos, y (tal vez ingenuamente) concibe de un moderno-día algebrista como alguien que estudia este tipo de estructuras. Uno aprende acerca de la clasificación de los finitos simples grupos, y gana algún leve sensación de lo que un grupo teórico podría preguntarse acerca de.

En una topología de clase, uno aprende acerca de los espacios topológicos, y concibe de una expresión algebraica topologist como alguien que estudia espacios topológicos, sus algebraicas invariantes, y se pregunta acerca de las formas de clasificar dichos espacios. Del mismo modo, un diferencial de aparejador puede ser descrito como alguien que estudia los colectores y sus invariantes, y algebraica de aparejador como alguien que estudia las variedades y de los esquemas y de sus invariantes.

Ahora, obviamente, este tipo de frase descripciones son bastante simplista, especialmente desde que muchos (la mayoría?) los matemáticos de trabajo en la interfaz de una variedad de áreas diferentes.

Dicho esto, siento que no tengo absolutamente ninguna concepción de lo que los analistas contemporáneos en realidad. Mi sensación es que los contemporáneos de análisis no se, por ejemplo, se asemejan a los materiales que se encuentran en (por ejemplo) Folland del texto.

Para ser un poco más concreto, mi pregunta se reduce a estos:

• ¿En qué áreas de análisis se encuentran en el centro de investigación activa?
• Qué clase de preguntas son analistas de que se trate? ¿Cuáles son algunos de los principales temas que a cada sujeto le preocupa? ¿Cuáles son la gran imagen de las metas de cada sujeto?

Mi sensación es que las actuales áreas de investigación incluyen:

• Análisis armónico (y el análisis de Fourier)
• El operador de la teoría de la
• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
• Varias variables complejas (SCV)
• Teoría geométrica de la medida (GMT)

Mi sensación es que los analistas de atención acerca de cosas como la regularidad, el crecimiento, y las oscilaciones, y podría ser que se trate con:

• Aproximación a los problemas
• La interpolación de los problemas
• Problemas de optimización
• El límite de problemas de valor de

Sin embargo, todo esto es realmente el alcance de mi comprensión.

Nota sobre la motivación: para que quede claro, yo soy alguien que le gusta mucho el análisis. Parte de mi motivación para pedir (aparte de la curiosidad) es que me parece que cumple muy pocos Americanos estudiantes de pregrado o de primer año de los estudiantes de posgrado que están interesados en la búsqueda de análisis, y a veces me pregunto si esto es debido a que algunos de nosotros parecemos tener alguna idea de lo que los analistas de la realidad.

Tenga en cuenta también: Decir que los analistas matemáticos que gusta mucho de las estimaciones no cuenta :-)

Disculpas si esta pregunta es demasiado vaga o demasiado amplio.

Answer 1

Dada su preámbulo sobre el álgebra, la topología y la geometría parece que tu pregunta es: "¿cuáles son los objetos básicos de estudio en el análisis?" Creo que hay una respuesta que es igual de satisfactorio (mientras que se encuentra como parte de una simplificación excesiva) como las respuestas a las preguntas correspondientes en otras áreas de las matemáticas: los principales objetos de estudio en el análisis son las funciones en el espacio Euclidiano o posiblemente lineal de los espacios de funciones continuas en el espacio Euclidiano.

Hay una serie de salvedades. Por ejemplo, es muy útil considerar las funciones más exóticos espacios que sólo el espacio Euclidiano, como a menudo es útil considerar en los planes de la geometría algebraica aunque los principales objetos de estudio son en general las variedades. También, mientras construcciones abstractas como los productos o cohomology teorías son bastante central a cada uno de álgebra, la topología y la geometría no son tan importantes en el análisis porque no es tan útil pensar en una función como un objeto en alguna categoría (aunque puede ser útil pensar en un espacio de funciones como tal).

Una vez que usted tiene esta perspectiva en mente, una gran cantidad de análisis que cae en su lugar bastante natural.

• El análisis armónico es el estudio de las funciones que han ricos simetrías
• El análisis funcional es el uso de técnicas geométricas para el estudio de grandes espacios de funciones
• PDE teoría es el estudio de las funciones que surgen de forma natural, como las soluciones de las ecuaciones
• Álgebras de operadores son generalizaciones de los anillos de funciones continuas (C*-álgebras) o anillos de funciones medibles (álgebras de Von Neumann)
• Análisis complejo es el estudio de las funciones que puede ser aproximada en un sentido muy fuerte por funciones polinómicas
• Teoría de la medida es la teoría de funciones que surgen de los límites (en un sentido débil) de funciones continuas

Del mismo modo, gran parte de la investigación en el análisis puede en última instancia se remontan a la pregunta básica acerca de las funciones, tales como:

• Cómo un general de la función se aproxima por simples tipo de funciones, tales como funciones, con una rica estructura algebraica como polinomios o funciones con la riqueza de la simetría como trigonométrica de la serie? ¿Qué se puede decir acerca de las funciones que están especialmente bien aproximada por funciones simples?

• ¿Cómo es la estructura del dominio de una función se refleja en sus propiedades analíticas y vice-versa?

• ¿Cómo puede geométrica de las técnicas de ayudar a localizar a una función específica con propiedades deseables entre un océano de posibilidades?

• ¿En qué medida las propiedades de una función determinada por una ecuación, que es una solución?

• ¿Qué son útiles las nociones de distancia entre las funciones, y cuáles son las propiedades que hacer en las cercanías de las funciones de compartir necesariamente?

Dicho todo esto, quiero estar en desacuerdo con su afirmación de que Folland del libro de texto es una inadecuada guía para la investigación actual en el análisis. Como cualquier buen libro de texto en un área tan antiguo como el análisis carece de la amplitud y profundidad necesarias serio de hacer contacto con la investigación actual, pero todavía tiene en sus páginas algunos de los resultados básicos y primeros toques de muchos de los activos de las áreas de investigación (con la notable excepción de la teoría espectral / álgebras de operadores).

Answer 2

Bueno, la zona se ha convertido en muy importante ya que yo estaba en la universidad, que es de las aplicaciones de la PDE a la geometría diferencial. El flujo de Ricci, investigó durante años y años por Hamilton, que eventualmente condujo a la prueba de la conjetura de Poincaré y la Geometrización de las Conjeturas en tres dimensiones, De POINCARÉ Más tarde, el diferenciable teorema de la esfera, a la incertidumbre en las dimensiones de 7 y anteriores, se estableció con estas técnicas, SCHOEN

Antes de esto, los colectores fueron investigados por el comportamiento de geodesics, consulte Comparación de Teoremas en la Geometría de Riemann por Cheeger y Ebin. La nueva pregunta es, a menudo, aquí es un PDE que da algunos geométrica/topológica de la información que tiene soluciones en pequeños barrios. Podemos extender la solución a todo un colector? El caso que puede ser familiar es el de la orientada compacto superficies, todos los cuales tienen métricas de Riemann con curvatura constante.

Ya que usted menciona GMT, todavía indeciso es el Willmore conjeturas, acerca de las orientadas cerrado toro en $\mathbb R^3$ que alcanza el mínimo de la integral del cuadrado de la media de la curvatura. Leon Simon demostrado que un minimizer existe.

Aquí uno que he probado, una conjetura de Meeks: vamos a ser dadas dos curvas convexas en planos paralelos, lo suficientemente cerca para que hay al menos una mínima superficie con las dos curvas, siendo el límite de la superficie. De lo anterior se sigue que la superficie es topológicamente un anillo? Ni idea.

Answer 3

Soy un estudiante de posgrado en las álgebras de operadores, por lo que trataré de decir un poco acerca de las álgebras de operadores como yo lo veo. Dicho esto, uno sólo necesita mirar matemáticas.OA ver que esto está lejos de ser exhaustiva.

Operador algebraists estudio de álgebras de operadores en espacios vectoriales topológicos, es decir, álgebras de von Neumann o $C^*$-algebras. I'm less familiar with $C^*$-álgebras de que me gustaría ser, pero mucho de el estudio de las álgebras de von Neumann parece estar en la clasificación de particular álgebras de von Neumann o mostrando que ellos tienen ciertas propiedades.

Una de las preguntas básicas que podemos hacer acerca de un álgebra de von Neumann es si tiene un trivial centro. Una de von Neumann álgebra que tiene un trivial centro que se llama un factor, y se pueden clasificar en ciertos tipos (conocido como tipos de $I$, $II_1$, $II_\infty$ and $III$) en función de sus celosías de las proyecciones.

Otras propiedades que la gente a veces de estudio son la solidez, rigidez, y la inyectividad. Otra pregunta que uno puede tomar interés en es si álgebras de von Neumann son isomorfos. Numerosas personas, en particular Vaughan Jones, han mirado a las preguntas relativas a los subfactores (que son bastante más de lo que cabría esperar).

Una clase de ejemplo de álgebras de von Neumann es la matriz de álgebras de (estos, y el tensor de productos de estos, son el tipo de $I$ von Neumann algebras), but these are less interesting. Given a discrete group $G$, one can construct a von Neumann algebra $L(G)$ using the left regular representation of $G$ on $L^2(G)$.

El ejemplo de $G=F_n$, the free group on $n$ generators has been studied extensively, but there is still much that isn't known. For instance, it is not known whether $L(F_m)$ and $L(F_n)$ are isomorphic for distinct $m,n\ge 2$. Este problema dio lugar al estudio de libre probabilidad, no conmutativa analógica de la teoría de la probabilidad, que desde entonces se ha convertido en un campo de estudio en su propio derecho.

Answer 4

También, mucho de lo que probabilists estudio es esencialmente el análisis. Conceptos tales como la convergencia y la concentración de las medidas (en todo tipo de exóticos espacios), la mezcla de paseo aleatorio, la comprensión de los espectros de matrices aleatorias puede ser pensado para ser preguntas de análisis.

También, no se olvide de la teoría analítica de números. Una pregunta clave aquí es la comprensión de la distribución de los números primos mediante la demostración de propiedades analíticas acerca de la de Riemann zeta función y de sus familiares. Los recientes avances en la (débil), de dos prime conjetura (Zhang, 2013) son, esencialmente, los resultados de unos análisis.

Tal vez el principal analista de hoy es Terence Tao, así que usted puede ver su trabajo para obtener un sentido de lo que la gran pregunta en la actualidad.

Answer 5

Además de la geometría del análisis descrito en Le Jagy la respuesta:

PDE teoría es sin duda una de las mayores áreas de la investigación moderna en el análisis. Por ejemplo, actualmente toneladas de obra que se produce sobre los diversos aspectos de la ecuación de Navier-Stokes. Si usted hace una arxiv búsqueda de documentos con "Navier-Stokes" en el título de obtener un buen muestreo. El pez grande sería el Navier-Stokes, la conjetura de los problemas del milenio, pero hay numerosos documentos saliendo hoy en día dando resultados de existencia, unicidad, la descomposición de las soluciones, la estabilidad de las soluciones, de estadística de las propiedades de las soluciones, el nombre.

Otro muy popular en el área de teoría de la PDE hoy en día sería ecuaciones de Schrödinger. De nuevo, ellos están interesados en la existencia y uniquess inicial de los datos en función de los espacios, la descomposición de las soluciones, los efectos de los potenciales en diversos espacios de funciones, solitones, la expansión de las fórmulas para las soluciones, y la lista continúa.

Muchas otras ecuaciones en derivadas parciales son populares también. En general, los más populares son los que vienen de las aplicaciones físicas.

Todavía hay una buena cantidad de clásicos de análisis armónico, pero una gran cantidad de análisis armónico de las personas combinan su campo con el PDE problemas mencionados anteriormente. La no-PDE áreas incluyen cuestiones relativas a la convergencia de series de Fourier y las integrales, las conexiones con la combinatoria, y la generalización de clásicos de análisis armónico para ponderada en función de los espacios o multilineal análogos.

Álgebras de operadores/análisis funcional es grande hoy en día también, pero no estoy tan familiarizado con él. Ellos tienen muchas conexiones a la física. Creo que varias variables complejas es menos activo.