El problema de dos hija

Question

Al enterarse de la dos-hija problema, pensé por primera vez que es bastante claro (después de, por supuesto, en la primera caída en la trampa como muchos de nosotros), pero en la segunda vista, me encontré con algunos problemas serios con mi comprensión.

El problema original parece ser bastante fácil: Suponga que la única cosa que sabemos acerca de un hombre con dos niños es que al menos uno de los niños es una hija. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro chico es una hija así? (Los niños y las niñas se supone que nacer con la misma frecuencia.)

Después de que el primer impulso ("1/2"), queda claro que es sólo 1/3. El problema puede ser asignada a una situación en la que a partir de la multitud de familias con dos hijos, sólo aquellos con M/M descartado, mientras que la misma frecuencia de los casos F/F, F/M y M/F siendo, haciendo F/F solo un tercio de todos los casos restantes.

Pero ahora, cumplir con el Señor Smith. No sé mucho acerca de él (salvo que él tiene dos hijos), pero cuando él se acercó a mí, me dijo: "estoy tan feliz!!! Victoria sólo recibió la beca que ella quería!"

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que Victoria tiene una hermana?

Desde sólo sé que el Señor Smith tiene dos hijos, y es, obviamente, una chica, me siento tentado a este mapa en el dos-hija-problema, que conduce a la respuesta "1/3".

Pero espera! Lo que si le pido al Señor Smith en primer lugar, si la Victoria es su hija mayor? Asumir su respuesta es sí (y omitir cualquier problemas con los gemelos - incluso entonces uno es normalmente un par de segundos "mayores" que la otra). Así que ahora sé que de los casos (F/F, F/M, M/F), M/F también cae. Y ahora, la probabilidad para F/F solo se elevó a 1/2.

Bien, pero ¿qué pasa si su respuesta es no? Entonces la Victoria es la más joven, y F/M cae. De nuevo, la probabilidad se eleva a 1/2.

Así que voy a preguntarle: "Bien, Señor Smith, es la Victoria de su hija mayor? Esperar - no conteste, porque todo lo que se puede responder, no importa. La probabilidad de rosa de 1/3 a 1/2."

O, incluso mejor, yo no tengo que pedirle, sólo de pensar en la pregunta de turno de probabilidades a 1/2, lo que significa que la original probabilidad de Victoria, tener una hermana ya debe haber sido 1/2. Pero, a continuación, la asignación a los dos-hija-problema es obviamente falso.

Dónde está mi error?

Empeoran las cosas, yo también podría crear una configuración donde el Señor Smith me dice: "tengo dos niños, y al menos uno de ellos es una niña." Yo entonces le pedimos: "Oh, me puede dar un nombre de una hija de los suyos?" y él responde: "por supuesto. Victoria."

(Nota: tengo la corazonada de que esto tiene algo que ver con la forma de asumir las distribuciones de probabilidad de detrás de las situaciones, de forma similar a los Dos sobres problema, pero no puedo entender esto completamente todavía.)

-------- ACTUALIZACIÓN --------

Parece que mi error es que la cuestión Es "Victoria el niño mayor de esa edad?" no cambia las probabilidades. Si estoy seguro de que el Señor Smith fue recogido de un igualmente distribuido (M/F, F/M F/F) de la muestra, a continuación, el conocimiento de que la Victoria es el niño mayor de esa edad no cambia nada, como se señaló aquí, y la probabilidad de que una hermana es de 1/3.

Pero es muy interesante que únicamente a partir de la frase "Victoria sólo recibió la beca que ella quería!" NO puedo inferir que el Señor Smith es, de hecho, elegido a partir de esta distribución uniforme.

Imagina que todos los niños tengan la misma oportunidad de obtener una beca, y el feliz padre nos dirá si es el caso. A continuación, en realidad, es dos veces tan probable que el Señor Smith nos hablará de su hija éxito si él tiene dos niñas, por lo que la ponderación de las cuatro posibilidades (M/M F/M, M/F, F/F) es (0, 1, 1, 2). Y en este caso, la probabilidad de Victoria de tener una hermana es 1/2.

Así que otro problema en mi razonamiento es el mapeo de el Señor Smith declaración a los dos-hija-problema. Simplemente, sin saber más acerca de las circunstancias que llevaron a que el Señor Smith me dice acerca de Victoria, yo simplemente no puede decir si la probabilidad es 1/3 o 1/2.

Ahora tengo un dolor de cabeza...

Answer 1

Creo que la confusión surge debido a que el clásico chico-chica problema es ambigua:

"Usted sabe que el Señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ella tiene una hermana?'

La ambigüedad aquí es que a partir de esta descripción, no está claro cómo llegamos a saber que 'el Señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una hija.'

Considere los dos siguientes escenarios:

Escenario 1:

Usted nunca se han encontrado con el Señor Smith, pero un día te topas con él en la tienda. Él tiene una niña con él, que él nos dice, es que uno de sus dos hijos.

Escenario 2:

Usted es un productor de TV, y decide hacer un show en " lo que es criar a una hija?", y se hizo un llamado para que esos padres vienen en el programa. El señor Smith se compromete a venir a la feria, y a medida que hablar, él le dice que él tiene dos hijos.

Ahora aviso: la descripción original se aplica a ambos casos. Es decir, en ambos casos es cierto que usted sabe que 'el Señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una hija".

Sin embargo, en el escenario 1, la probabilidad de que el Señor Smith con dos hijas es $\frac{1}{2}$, pero en el escenario 2 es $\frac{1}{3}$. La diferencia es que en el primer escenario de uno específico niño ha sido identificado como el de las mujeres (y por lo tanto la probabilidad de tener dos hijas cantidades a su hermano de ser mujer, que es $\frac{1}{2}$), mientras que en el segundo escenario no específicos niño se identifica, por tanto, no podemos hablar de 'su hermano' más, y en lugar de tener en cuenta una probabilidad condicional, que resulta ser $\frac{1}{3}$.

Ahora, el original de su escenario, donde no se sabe nada sobre el Señor Smith distinta de la que tiene dos hijos, y, a continuación, el Señor Smith dice " yo soy tan feliz Victoria consiguió una beca!' es como el escenario 1, no el escenario 2. Que es, a menos que el Señor smith tiene dos hijas llamada Victoria (que es posible, pero muy improbable, y si lo hizo uno habría esperado que dijera algo como "mi mayor Victoria'), con su declaración el Señor Smith ha señalado 1 de sus dos hijos, lo que es equivalente a la hipótesis 1.

De hecho, apostaría a que la mayoría de los casos de la vida real donde en algún punto es cierto que 'usted sabe de algún padre que tiene dos hijos, uno de los cuales es una niña lógicamente isomorph para el escenario 1, no el escenario 2. Es decir, el clásico de dos chica problema es divertido y todo, pero la mayoría del tiempo a la descripción del problema es ambigua desde el principio, y si usted tiene cuidado a la frase de una manera para que la respuesta es $\frac{1}{3}$, usted se dará cuenta de lo raro que es para ese tipo de escenario a ocurrir en la vida real. (De hecho, la cuenta de cómo tenía que trabajar muy duro para encontrar un verdadero escenario de la vida que es al menos algo plausible).

Finalmente, todas las variaciones de si la Victoria es la más antigua, la más joven, o si ni siquiera sabes su nombre ('el Señor Smith le dice a uno de sus hijos recibió una beca para la que Todas las Niñas de la Academia') no cambiar ninguna de las probabilidades (como se argumentó correctamente): en la mayoría de situaciones de la vida real, la forma en que se llega a saber que 'el Señor Smith tiene dos hijos, uno de los cuales es una chica' (y yo diría que incluye el original escenario) significa que la probabilidad de que el otro niño que va a ser una niña es $\frac{1}{2}$, no $\frac{1}{3}$.

Así, cuando al final de la original del post te pregunte "¿dónde está mi error?" Yo le respondería: su 'error' es que se supone que debe ser la respuesta correcta $\frac{1}{3}$, y que desde su argumento implícito que sería la $\frac{1}{2}$, la conclusión de que debe haber habido un error en su razonamiento. Pero, como resulta que no! Por su escenario, la respuesta es, de hecho,$\frac{1}{2}$, y no $\frac{1}{3}$. Así que su "error" fue pensar que había cometido un error!

Puesto de una manera diferente: se encuentra temporalmente cegado por las matemáticas puras ( y digo 'temporalmente', porque terminó pidiendo a todos el derecho citical preguntas, y más tarde se dio cuenta de que el clásico de dos chica problema es ambigua: buen trabajo!). Pero lo que quiero decir es: hemos visto esta chica problema tan a menudo, y nos han dicho que la solución es $\frac{1}{3}$ muchas veces, que de inmediato suponer que también en su descritas escenario que es la respuesta correcta... Cuando en realidad ese no es el caso debido a que los supuestos iniciales son diferentes: el clásico problema supone un Tipo de 2 escenario, pero el original escenario descrito en tu post es un Tipo 1 escenario.

Es igual que la de Monty Hall problema ... lo Hemos visto tan a menudo, tan pronto como 'huele' como el de Monty Hall problema, decimos 'switch!' ... cuando en realidad hay todo tipo de sutiles variantes en las que la conmutación no es el mejor, y a veces incluso peor!

También tomamos una mirada en el Negocio de Mono Ilusión: hemos de ver ese video de la gorila que aparezcan en la mitad de la gente que pasa una pelota de baloncesto tantas veces que ahora podemos sorprender a la gente sobre la base de que!

Answer 2

Tomemos un enfoque pragmático de este. Para el primer problema:

Paso 1: Ronda de hasta un millón de hombres, cada uno de los cuales tiene dos hijos.
Paso 2: informar a todos los hombres que no tienen hijas para ir a casa.
Paso 3: Pida a todos los de el resto de los hombres que tienen dos hijas a levantar sus manos.

Obviamente, alrededor de un tercio del resto de los hombres levanten las manos: unas 750.000 hombres siguen siendo, y alrededor de 250.000 de ellos tienen dos hijas.

Para el segundo problema:

Paso 1: Ronda de hasta un millón de hombres, cada uno de los cuales tiene dos hijos.
Paso 2: informar a todos los hombres que no tienen una hija llamada Victoria para volver a casa. (Ignoramos la beca.)
Paso 3: Pida a todos los de el resto de los hombres que tienen dos hijas a levantar sus manos.

Ahora, supongamos que 1 de cada 100 niñas son el nombre de Victoria. (La cifra exacta no importa). Luego de 500.000 padres con una hija y un hijo, 5.000 de ellos tendrá hijas llamada Victoria; y de los 250.000 padres con dos hijas, 5.000 de ellos también tienen una hija llamada Victoria (porque tienen hijas de 500.000 en total). Por lo tanto, de los 10.000 hombres restantes, 5,000 se levanten sus manos.

Así que la probabilidad de que el Señor Smith tiene dos hijas, una es $1/2$.

Answer 3

Una forma de interpretar una entrevista como esta con una persona en particular (evitando preocupaciones tales como la de si podemos definir cosas como la probabilidad de que Napoleón tenía los ojos azules) está a la vista de la conversación como el resultado de algún tipo de proceso de muestreo. Entonces la pregunta se convierte en uno de la relación de la segunda de sus hijas a no-segunda-hijas en la población de la que el Señor Smith era "muestreadas." Como se ha señalado en otras respuestas, sin embargo, tenemos información de que restringe la sub-población a la que el Señor Smith podría pertenecer, y la construcción y composición de la subpoblación son lo que importa.

En el original de dos hija pregunta, tenemos que ser muy cuidadosos para obtener la información que se obtenga de tal manera que tenemos de un imparcial ejemplo de una familia desde el espacio de dos hijos, familias en las que al menos un hijo es una niña. Esencialmente, queremos algo equivalente a donde pedimos un sí-ninguna pregunta cuya respuesta es "sí" en los casos FF, FM, y MF y "no" en los casos de MM y nada, a excepción de exactamente dos niños. A continuación, se acepta la primera persona que contesta "sí" a esta pregunta, puesto que nuestra muestra de uno.

Equivalentemente, podemos mencionar a todas las personas en el mundo que tienen exactamente dos hijos en orden de nacimiento, FF, FM, o MF--es decir, que debemos eliminar de la lista a cualquier persona con los niños MM o con más o menos de dos niños, y al azar de la muestra a una persona de la lista.

Cuando nuestro método de muestreo consiste en el Señor Smith voluntariado de la información acerca de Victoria's de la beca, esto es equivalente a no muestras a partir de una lista de personas con hijos en orden de nacimiento, FF, FM, o MF, pero a un mucho más limitado de la lista de la gente:

1. Comenzando con una lista de todas las personas en el mundo, primero debemos quitar todo el mundo con más o con menos de dos hijos, o con dos niños.

2. Ahora podemos quitar a una persona que no tiene un hijo que recientemente recibió una beca.

3. Ahora tenemos que empezar a hacer algunas suposiciones razonables, como que si el Señor Smith niños habían recibido becas, él hubiera mencionado a dos de ellos. Así que quitar a nadie de la lista cuyos hijos ambos recibieron becas recientemente.

4. Ahora nos remover a cualquiera de la lista que tiene no sólo ahora, se jactó de que una comparativa extraño acerca de su niño reciente de la beca.

5. Ahora vamos a quitar a nadie de la lista cuyo hijo, quien recientemente recibió una beca no es llamado Victoria.

El resto de la lista después de estos cinco pasos es la lista de personas de las que el Señor Smith ha sido seleccionado en una evaluación imparcial de la moda.

Hasta el final del Paso 4, parece razonable suponer que la lista de personas que tiene igual número de personas de la población con los niños nacidos en el orden FF, FM, de MF. Pero el Paso 4 cambios. Suponiendo que no hay niños son el nombre de Victoria, pero que cada chica tiene una igual (pero pequeño) oportunidad de ser llamado Victoria, nos reservamos dos veces el número de personas de las FF parte de la lista de la FM parte de la lista. Las proporciones precisas son, si cada chica tiene una pequeña probabilidad de $p$ a ser llamado Victoria, a menos que ya tiene una hermana que se llama Victoria, y si tenemos $N$ de personas en cada una de las sublistas FF, FM, y MF, mantenemos $Np$ de personas de cada una de las sublistas de FM y MF y $N(1 - (1-p)^2) = N(2p - p^2) \approx 2Np$ personas de las FF lista.

Por tanto, tenemos $2Np$ de las personas que quedan en la lista con los niños en el orden de nacimiento de FM o MF, y aproximadamente el $2Np$ de las personas que quedan en la lista con dos hijas. Como el Señor Smith es muestreada imparcial de esta lista, que tiene una segunda hija, con una probabilidad de aproximadamente el $\frac12.$

Si conocemos la probabilidad de una chica al azar para ser llamado Victoria, podríamos calcular con más exactitud la probabilidad, que sería un poco menos de $\frac12.$, Pero la única manera que la probabilidad sería $\frac13$ es, si prácticamente cada chica se llama Victoria, excepto a aquellos que tienen hermanas mayores llamada Victoria. (Familias mezcladas con medio hermanas también podría complicar este cálculo un poco si se trató de dar cuenta de ellos, pero supongamos que hay pocos de estos que solo tienen un pequeño efecto en las probabilidades.)

La razón por la que usted obtenga la probabilidad de $\frac12$ después de preguntar el Señor Smith aparentemente inútil preguntas tales como si la Victoria es su hija mayor, es debido a que la probabilidad era ya $\frac12$ antes de que usted le pidió a la preguntas inútiles.

Answer 4

Deje $XY$, que indican que el sexo del hermano menor es $X$ y la de los hermanos mayores es $Y$. $X$ y $Y$ pueden $M$ o $F$, la masculina y la femenina. Disponemos de los siguientes tres mismas probabilidades de los sucesos elementales

$$\{FF, FM, MF, MM\}.$$

Estos son igualmente probables, por lo $P(\{XY\})=\frac14$ para todos los posibles $X,Y$.

En el caso de que al menos uno de los hermanos es una chica es

$$\{FF, FM, MF\}.$$

En el caso de que ambos hermanos se encuentran en las hembras es de

$$\{FF\}.$$

Queremos calcular la siguiente probabilidad condicional

$$P(\{FF\}\mid \{FF, FM, MF\})=\frac{P(\{FF\})}{P(\{FF, FM, MF\})}=\frac{\frac14}{\frac34}=\frac13.$$

La pregunta sigue siendo: ¿estamos de acuerdo en que las siguientes dos preguntas son las mismas preguntas?

• ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia , tanto niños , niñas, asumiendo que al menos uno de los niños es una niña?

• Suponga que en una familia de dos niños uno de los niños es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de continuación, que el otro niño también es una chica?

EDITAR

Supongamos que un padre dice que tiene una hija y esa hija es mayor que el otro hijo de su. Entonces nuestra pregunta modifica:

Suponga que el niño mayor es una niña, ¿cuál es la probabilidad de que el menor es una niña. Nuestra probabilidad condicional, entonces es:

$$P(\{FF\}\mid \{FF, MF\})=\frac{P(\{FF\})}{P(\{FF,MF\})}=\frac{\frac14}{\frac12}=\frac12.$$

Así, no hay ninguna contradicción. La segunda pregunta es otra pregunta.

EDIT 2

Sólo estoy pensando... me doy cuenta de que lo que la mayoría de la honorable padre de la respuesta es la probabilidad de cambios a $\frac12$. Mal! Vamos a ver ¿qué pasa si no recibo una respuesta. Entonces la respuesta es sí o no. Es decir, tenemos la siguiente probabilidad condicional:

$$P(\{FF\}\mid \{FF, MF\}\cup\{FF, FM\})=\frac{P(\{FF\})}{P(\{FF, FM, MF\})}=\frac{\frac14}{\frac34}=\frac13.$$

Answer 5

Su error: $FF, FM, MF$ del problema dos hija, Victoria descarta uno de $MF, FM$.