Ahora que tengo su atención, aquí están las definiciones pertinentes: Vamos a $R$ integrante de dominio en el campo de fracciones de $K$. Un $R$-ideal fraccional de $K$ $R$- submódulo $I$ $K$ tal que $aI\subseteq R$ algunos $a\in R\setminus0$. A partir de ahora nos acaba de decir que $I$ es un ideal fraccional. En particular, todos los ideales en $R$ es un ideal fraccional.
Dado ideales fraccionarios $I,J$ definimos el conjunto $IJ=\{\sum i_kj_k: i_k\in I, j_k\in J\}$, que a su vez es un ideal fraccional, y claramente $IR=I$ para todo ideal fraccional $I$. Decimos que un ideal fraccional $I\ne0$ es invertible si existe algún ideal fraccional $J$ tal que $IJ=R$. Sólo hay una posibilidad para $J$, es decir, $J=I^{-1}$ donde $I^{-1}$ es el conjunto definido por $I^{-1}=\{z\in K: zI\subseteq R$}. De hecho, si $IJ=R$, a continuación, a partir de la definición de $I^{-1}$ tenemos tanto $II^{-1}\subseteq R$$J\subseteq I^{-1}$, y por lo $II^{-1}J\subseteq RJ$$I^{-1}(IJ)=I^{-1}\subseteq J$. No es difícil mostrar que $I^{-1}$ es un ideal fraccional así, incluso si $II^{-1}\subsetneqq R$.
Nota luego de que $I^{-1}$ es sólo una anotación: denota el potencial inversa de un valor distinto de cero ideal fraccional $I$.
Ahora mi pregunta es: dado un ideal $I$ $R$ tal que $I^{-1}$ es invertible, no se sigue que $I$ sí es invertible? Me gustaría pensar que esto es de hecho el caso, pero, ¿quién dijo que la vida era fácil? Creo que debe haber un contraejemplo. Estoy interesado en un ejemplo concreto de esta situación, es decir, si un ideal $J$ $R$ satisface $J^{-1}=R$, no se sigue que la $J=R$? Tenga en cuenta que para los ideales de la $J$ $R$ siempre tenemos $R\subseteq J^{-1}$.
ACTUALIZACIÓN
Estoy muy agradecido a @Youngsu por su respuesta. Ahora me gustaría saber si un contraejemplo existe para el caso dim $R=1$ $R$ Noetherian.
