¿Necesariamente un Homeomorfismo?

Question

Que $D$ sea la curva proyectiva definida por $y^2z = x^3.$ considere el mapa $f: \mathbb{P}_1 \to D$ definido por $$f[s, t] = [s^2t, s^3, t^3].$ $ ¿es necesariamente un Homeomorfismo? Cualquier ayuda sería mucho apreció.

¿Progreso hasta el momento: creo que el $f^{-1}[x, y, z] = [y, x] = [\sqrt{x}, \sqrt{z}]$ paso válido después de elegir una rama?

Answer 1

Supongo que usted está trabajando a través de $\Bbb{R}$, en cuyo caso no hay opciones de ramas involucradas. Vamos a mostrar que el mapa $$ g[x,y,z] = [y^{1/3},z^{1/3}] $$ es una inversa de a $f$. De hecho, hemos $$ (g \circ f)[s,t] = g[s^2t,s^3,t^3] = [(s^3)^{1/3}, (t^3)^{1/3}] = [s,t] $$ y si $[x,y,z] \in D$ $$ (f \circ g)[x,y,z] = f[y^{1/3},z^{1/3}] = [y^{2/3}z^{1/3}, y, z] = [x,y,z] $$ debido a $x^3 = y^2z$ implica $x = y^{2/3} z^{1/3}$.

Finalmente, se observa que tanto en $f$ $g$ son continuas, debido a que sus componentes son. Por lo tanto $f$ es un homeomorphism, según sea necesario.

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Como nota al margen, se observa que la $D$ es un cusped cúbicos. Esto significa que no se puede diffeomorphic a $\Bbb{P}^1$.