Wolfram alfa dice que $ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ix^2}dx = \sqrt { \frac { \pi }{i}}$

Question

Wolfram alfa dice que $$ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ix^2}dx = \sqrt { \frac { \pi }{i}}$$ se mantiene. Pero tiene dos valores diferentes ( $ \sqrt {i}$ ). ¿Cómo debería entender esto?

Answer 1

Wolfram Alpha parece estar usando esta fórmula $$ \begin {align} \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ax^2}\, \mathrm {d}x &= \frac1 { \sqrt {a}} \int_ {- \infty }^ \infty e^{-x^2}\, \mathrm {d}x \\ &= \sqrt { \frac\pi {a}} \tag {1} \end {align} $$ que es válido de verdad $a \gt0 $ donde no hay confusión en cuanto a lo que significa la raíz cuadrada.

Sin embargo, podemos usar la integración de contorno para obtener el resultado adecuado.

Desde $e^{-z^2}$ está completo, $$ \int_\gamma e^{-z^2}\, \mathrm {d}z=0 \tag {2} $$ sobre cualquier contorno cerrado $ \gamma $ por ejemplo, $[R,-R] \cup -Re^{i \pi [0,1/4]} \cup e^{i \pi /4}[-R,R] \cup Re^{i \pi [1/4,0]}$ :

$ \hspace {5cm}$

Como $R \to\infty $ la integral sobre la trayectoria diagonal, donde $z= \frac {1+i}2x$ y $-z^2=-ix^2$ es igual a $$ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ix^2} \tfrac {1+i}{ \sqrt2 }\, \mathrm {d}x= \tfrac {1+i}{ \sqrt2 } \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ix^2}\, \mathrm {d}x \tag {3} $$ y la integral sobre el camino horizontal, donde $z=x$ es $$ - \int_ {- \infty }^ \infty e^{-x^2}\, \mathrm {d}x \tag {4} $$ Como se muestra a continuación, la integral sobre los segmentos curvos se desvanece como $R \to\infty $ que obtenemos de $(2)$ que la suma de las integrales en $(3)$ y $(4)$ es $0$ . Eso es, $$ \begin {align} \int_ {- \infty }^ \infty e^{-ix^2}\, \mathrm {d}x &= \tfrac {1-i}{ \sqrt2 } \int_ {- \infty }^ \infty e^{-x^2}\, \mathrm {d}x \\ &=(1-i) \sqrt { \frac\pi2 } \tag {5} \end {align} $$

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Contornos curvos

En la curva de la mano derecha, $z=Re^{it}$ para $t \in [0, \pi /4]$ . Por lo tanto, $$ \begin {align} \left |\, \int_\gamma e^{-z^2}\, \mathrm {d}z\, \right | &= \left |\, \int_0 ^{ \pi /4}e^{-R^2e^{2it}}iRe^{it}\, \mathrm {d}t\, \right | \\ & \le\int_0 ^{ \pi /4}e^{-R^2 \cos (2t)}R\, \mathrm {d}t \\ & \le\int_0 ^{ \pi /4}e^{-R^2(1-4t/ \pi )}R\, \mathrm {d}t \\ &= \frac { \pi }{4R} \int_0 ^{R^2}e^{-u}\, \mathrm {d}u \\ & \le\frac { \pi }{4R} \end {align} $$ El contorno de la mano izquierda es similar.

Answer 2

Pista

Creo que veo dónde está la confusión $$ \int e^{-a x^2}dx = \frac { \sqrt { \pi } \text {erf} \left ( \sqrt {a} x \right )}{2 \sqrt {a}} $$ $$ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-a x^2}dx = \frac { \sqrt { \pi }}{ \sqrt {a}}$$ pero, en principio, esto es cierto (al menos para mí) sólo si $ \Re (a)>0$ .

Como AlexR comentó, su resultado es $$ \int e^{-i x^2}dx = (1-i) \sqrt { \frac { \pi }{2}}$$ Pero, lo que es interesante es que $$ \sqrt { \frac {1}{i}}= \sqrt {-i}= \sqrt {e^{3i \pi /2}}=e^{3i \pi /4}= \frac {1-i}{ \sqrt {2}}$$

Answer 3

Complementando las otras buenas respuestas y comentarios: la ambigüedad en la elección de $i$ existe en ambos lados, en primer lugar.

En segundo lugar, uno podría querer comprobar que la integral realmente converge, es decir, por ejemplo, que $ \lim_T \int_0 ^T e^{ix^2}\;dx$ existe. Esto es quizás más fácil de ver haciendo un cambio de variables, reemplazando $x$ por $ \sqrt {x}$ así que mirando a $ \lim_T \int_0 ^T {e^{ix} \over \sqrt {x}}\;dx$ que, de hecho, es convergente por alguna variante de un criterio de disminución alterna.

Entonces la evaluación de la integral original por continuación analítica y/o integrales de contorno (como en las otras respuestas) es quizás más plausible.

Answer 4

En la mayoría de las situaciones $i$ puede ser tratada como cualquier constante real durante la integración y simplificación con otros términos utilizando $i^2 = -1$ .